经典场论 Chap.4：场的传播子；格林函数方法

---

Refrence

Mark Burgess: Classical Covariant Fields
M.D.Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model
M.E.Peskin & D.V.Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory
段一士：量子场论
黄涛，王伟：量子场论导论（第二版）
郑汉青：量子场论（上册）

---

格林函数的基本概念

在自由场中加入源项

在第二节已经讨论了一些常见类型场的运动方程，包括标量场、矢量场、旋量场等。在那里讨论的是自由场；意味着在相应的拉格朗日密度中，只考虑动力学场$\phi$的动能项$\mathscr T$和质量项$\mathscr M$（如果有的话）：

$$\mathscr L_0 = \mathscr T + \mathscr M$$

动能项只由场$\phi$的导数项$\partial^\mu\phi$构成，而质量项则是$\phi$本身的二次项，这里几乎不出现除了所关心的动力学变量$\phi$之外的其他场量。由这样的拉格朗日密度得到的动力学方程通常也具有较简单的形式：

$$\Big[F(\partial)+G(m)\Big]\phi = 0$$

称之为自由场方程，等式左侧作用在场变量$\phi$上的包含两部分，分别是导数算符的函数$F(\partial)$，例如$\partial_\mu$本身、$\partial^2 = \partial^\mu\partial_\mu$或$\cancel \partial = \gamma_\mu\partial^\mu$等等；以及质量参数的函数$G(m)$，例如$m$或$m^2$。

自由场的描述本身很简单，但并不涉及到场论中真正深刻的内容。如何为自由场引入相互作用呢？一个最简单的方式就是在自由场方程右侧加入一个非齐次项：

$$\Big[F(\partial)+G(m)\Big]\phi = J$$

$J$本身通常也具有时空依赖$J(x)$。不难看出这种修改方法相当于是在拉格朗日密度中直接引入一个与场$\phi$相耦合的相：

$$\mathscr L' = \mathscr L_0 + J\phi$$

这样的$J$称为相应场的源或外源，当使用后者时强调其中不包含$\phi$本身。有时也称其为与场$\phi$耦合的流，这种称呼来自于经典电动力学中作为电磁场的源的电流$\partial^\mu F_{\mu\nu} = J^\nu$就是在自由电磁场方程$\partial^\mu F_{\mu\nu} = 0$右侧加入的非齐次项，尽管在更一般的场论中$J$通常并不一定是矢量。这一关系告诉我们，$J$的物理意义通常是从自由场背景下对场$\phi$产生扰动或激发的源。

求解含源场方程

源项$J(x)$本身也是一个时空场，原则上它包含了所有与$\phi$场具有相互作用的外场。当然，场$\phi$也可能存在自相互作用；首先只考虑外源相互作用。但这里并不关心外源所包含外场的具体形式，用$J$抽象地代表这些丰富的相互作用信息，意味着暂时不关心场如何与源所耦合，而是突出所关心的场$\phi$本身的动力学。

格林函数方法

含源的场方程在数学上是非齐次的微分方程。要具体求解非齐次微分方程是较困难的，尤其是在处理实际的多元函数偏微分方程的时候。求解微分方程的具体方法有很多，例如将微分方程进行积分求解，或是尝试使用试探解。格林函数方法也是具体求解偏微分方程的一种方法，并且在场论中应用十分广泛；并且后来发现格林函数在物理上具有特殊的意义。

考虑一般的非齐次微分方程$\mathcal D f = a$，其中$\mathcal D$是微分算符，可能包含高阶（偏）微分。理想的情况是找到算符$\mathcal D$的逆并将之作用在方程两侧，那么就能得到解为：

$$f = \frac{1}{\mathcal D}a$$

右侧只是一个形式化的写法，$\dfrac{1}{\mathcal D}$表示算符$\mathcal D$的逆，其满足$\dfrac{\mathcal D}{\mathcal D} = I$。若方程有解，那么微分算符的逆一定存在，但是找到这个逆并不简单，尤其是对于无穷维Hilbert空间中的元素来说。

鉴于算符$\mathcal D$是一个微分算符，那么$\dfrac{1}{\mathcal D}$之中应当含有某些作用在源项$a$上的积分结构，换句话说不是一个单点局域的算符。直观来看它至少依赖于两个点，即等式右侧源项$a(y)$的作为积分变量的自变量$y$，以及等式左侧的解函数$f(x)$的自变量$x$；不妨将关于$y$的积分显式地写出：

$$f(x) = \frac{1}{\mathcal D}\big[a(y)\big] \equiv \int{\rm d}y\ G(x,y) a(y)$$

该式具有积分变换的形式，其中核函数$G(x,y)$在数学上称为算符$\mathcal D$的格林函数。这个式子的物理解释是：处于$y$点处的源$a(y)$经过在时空中的传播，到$x$点处引起场$f$的扰动，对全时空所有点处的源积分就得到场$f$在$x$点处总的扰动，而$G(x,y)$则包含了场怎样传播的全部信息，因此它在物理上也称为传播子或传播函数；又由于它实际上代表着两个点处场的动力学关联，因此也叫两点关联函数。

由此可知，某个微分算符$\mathcal D$的格林函数$G(x,y)$就是其逆$\dfrac{1}{\mathcal D}$的变换核。有时也说格林函数就是其逆算符，因为一个变换的核唯一确定了该变换在函数空间中的作用。

将上述解的形式代入原方程就得到

$$\mathcal D f(x) = \mathcal D_x \int{\rm d}y\ G(x,y) a(y) = \int{\rm d}y\ \mathcal D_x G(x,y) a(y) = a(x)$$

最后一个等号两侧正是$\delta$函数的定义，因此格林函数实际上是如下方程的解：

$$\mathcal D_x G(x,y) = \delta(x-y)$$

不难得到$G(x,y) = G(y,x)$。格林函数实际上给出了求一个微分算符的逆的形式化方法。由于$\delta$函数是广义函数，故一般求出的方程解也未必是古典解。

$G(x,y)$本身并不依赖于源$a(y)$，因此只要知道了格林函数， 就可以对任意的源，给出其微分方程的解。特别地，格林函数本身也是当源为点源时的方程解，或者物理地说，是场对点源的响应；于是用格林函数来表达一般解，就相当于把源场看作一个个点源，场的总响应就是每个点源响应的叠加贡献。

微扰展开，传播子与费曼图

回到要处理的含源场方程问题上来。用$\Pi(x,y)$表示在物理上的传播子/两点关联函数，它只取决于场的动能项和质量项，即自由场动力学部分；物理上出于习惯，定义四维场论的传播子所满足的方程为

$$\mathcal D_x \Pi(x,y) = -{\rm i}\delta^{(4)}(x-y)$$

或相差一个负号。$\Pi(x,y)$与源$J(x)$所包含的信息无关，因此传播子单纯地表示场本身在时空中传播的性质。由源$J$所激发的场为：

$$\phi(x) = -{\rm i}\int{\rm d}^4y\ \Pi(x,y) J(y)$$

在之前的讨论中没有讨论存在场$\phi$自相互作用的情况，是为了突出传播子的概念；而建立起传播子理论之后也能很自然应用到含自相互作用的理论中。特别是注意到，自相互作用和与其他场的相互作用是不同的，它也属于场本身的性质。因此在源项$J$确定后，场在时空中的传播不可避免要同时存在自相互作用的影响。

例如，考虑如下的简单模型：

$$\mathscr L = -\frac{1}{2}h\square h + \frac{\varsigma}{3} h^3 + Jh$$

其中$\square = \partial^\mu \partial_\mu$是四维的达朗贝尔算符；它是三维拉普拉斯算符$\triangle = \partial^i \partial_i$的四维对应物，两者关系为$\square = \partial_t^2 - \triangle$。该模型是一个不考虑自旋的简单的标量引力理论，$h$是引力势；$h^3$项代表着广义相对论预言的引力子的3线自相互作用；它给出的动力学方程为

$$\square h - \varsigma h^2 - J = 0$$

求解含高阶相互作用的场论十分困难，目前比较有效的方法只有微扰场论，即假设耦合常数$\varsigma$足够小以能够按其逐阶展开，当计算到一定阶数总能达到所需的精度。广义相对论给出$\varsigma\sim\sqrt{G_N}$，因此确实是弱耦合，可以足够好地微扰展开。

对于$\varsigma = 0$的情况就是简单的无自相互作用场论，此时有解为$h_0 = \dfrac{1}{\square} J$，同时也是微扰最低阶（零阶微扰）的结果：

$$h = h_0 +\mathcal O(\lambda) = \dfrac{1}{\square} J +\mathcal O(\lambda)$$

在此基础上考虑加入一阶微扰项，设$h=h_0+h_1$且$h_1 \sim \mathcal O(\lambda)$，代入原方程得

$$\square(h_0 + h_1) - \varsigma (h_0 + h_1)^2 - J = 0$$

得到$\square h_1 = \lambda h_0^2 + \mathcal O(\lambda^2)$，于是一阶项为

$$h_1 = \varsigma\frac{1}{\square}(h_0h_0) = \varsigma\frac{1}{\square}\left[\left(\dfrac{1}{\square} J\right) \left(\dfrac{1}{\square} J\right)\right]$$

于是到一阶微扰的结果就是

$$h = \dfrac{1}{\square} J + \varsigma\frac{1}{\square}\left[\left(\dfrac{1}{\square} J\right) \left(\dfrac{1}{\square} J\right)\right] + \mathcal O(\lambda^2)$$

按此方法可以逐阶确定各阶微扰结果。可见在自相互作用理论中，微分算符的逆$\dfrac{1}{\square}$或者说传播子/两点关联函数$\Pi$也是十分重要的；只不过由于自相互作用的存在，会让传播的情况变得更加复杂。自相互作用理论中，传播子同样也只取决于动能项和质量项。

上述微扰结果也可写成积分的形式。零阶微扰就是：

$$h_0 = -{\rm i}\int{\rm d}^4y\ \Pi(x,y) J(y)$$

在此基础上，一阶微扰满足

$$\square_w h_1(w) = \varsigma h_0^2(w) = -\varsigma\int{\rm d}^4y\ \Pi(w,y)J(y)\int{\rm d}^4z\ \Pi(w,z) J(z)$$

于是得到

$$h_1(x) = - \varsigma \int{\rm d}^4w\int{\rm d}^4y\int{\rm d}^4z\ \Pi(x,w)\Pi(w,y)\Pi(w,z) J(y)J(z)$$

可见，对$\varsigma\phi^3$型的自相互作用，其一阶微扰的结果，是由三个传播子关联两个源点和一个场点；据此可以将一个传播子直观地视作一个连接两点的线，且三个传播子的线相交于一个顶角，因此$\varsigma\phi^3$型也叫三线自相互作用；在这种表示下，零阶微扰就是由一个传播子线连接一个源点和一个场点。不难推知，$\lambda\phi^4$型是四线自相互作用，每个顶角由四条传播子线。基于这样的考虑，就可以为微扰场论的各阶结果分别引入一个几何图形，不同的积分结构由不同拓扑结构来表示，此即（经典场论）的费曼图。

费曼图本身并不能帮助计算，只是一种便于清楚地表示各阶微扰的工具。对于一般的理论，绘制费曼图不必先计算积分，而是总结出一定的规则，根据这些规则所绘制的图形一定对应于某阶微扰结果。这些规则就叫做费曼规则；经典场论的（坐标空间）费曼规则是：

1. 从场$\phi$的点$x$出发，画一条线代表传播子$x_i$；

2. 传播子线要么结束于源$J$的某点，要么在新点$x_i$处分成两条线，此时内点称为相互作用顶角，并同时伴随一个顶角因子$-\varsigma$；

3. 重复上述步骤；
4. $h(x)$最终精确到某阶的值，由相应的图积分得出，其中传播子线换为$\Pi(x_i,x_j)$，末点为源$J(x_i)$，对每个内点以顶角因子做积分。

在上述标量引力的模型中，第一个零阶图代表经典牛顿引力势；第二个及之后的图包含引力自相互作用，是高阶的修正小项。内点越多，阶数越高。

上述讨论只是玩具模型，但其表明了相互作用场论中的一个重要方法，即对于弱耦合的相互作用采用微扰场论，可将复杂的传播性质用自由场的传播子，按耦合常数的阶以多重积分的方式逐阶表出，每一重积分代表一个相互作用顶角。这给出了我们用自由场传播子来计算相互作用场的一个方法。

$k$时空，$k$时空场方程，与$k$时空传播子

回到传播子满足的方程

$$\mathcal D_x \Pi(x,y) = -{\rm i}\delta^{(4)}(x-y)$$

希望求解该方程得到它的具体形式。由于$\delta$函数是广义函数不方便处理，可以考虑在其四维傅立叶变换下求解。四维时空坐标$x^\mu$变换后的共轭变量记为$k^\mu$，其取值空间称为$k$时空。$\delta$函数的四维傅里叶变换是平凡的：

$$\delta^{(4)} (x-y) = \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}$$

接下来考虑微分算符的四维傅里叶变换。设函数$f(x)$的四维傅立叶变换是$\widetilde f(k)$，那么

$$\partial^\mu f(x) = \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \partial^\mu \big[ \widetilde f(k) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu x^\mu} \big] = \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} (-{\rm i}k^\mu) \widetilde f(k) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu x^\mu}$$

这意味着实四维时空的微分算符$\partial^\mu$与共轭变量$k^\mu$之间存在着对应关系：

$$\begin{aligned} {\rm i} \partial^\mu &\Longleftrightarrow k^\mu\\ -\square &\Longleftrightarrow k^\mu k_\mu = k^2 \end{aligned}$$

例如，$\widetilde{[\partial f]}(k) = (-{\rm i}k)\widetilde f(k)$；$\widetilde{[\square f]}(k) = (-k^2)\widetilde f(k)$。

注：按这样规定四维傅里叶正变换（从实时空到$k$时空）的核函数——指数函数的指数符号为${\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu x^\mu}$，即令$k^\mu \Longleftrightarrow {\rm i}\partial^\mu$，是为了使其空间分量与三维傅里叶变换的约定保持一致：

$$\begin{aligned} -{\rm i}\nabla & \Longleftrightarrow {\bf k}\\ -\triangle & \Longleftrightarrow {\bf k}\cdot{\bf k} = {\bf k}^2 \end{aligned}$$

这样就有：$k^\mu \widetilde f_\mu \Longleftrightarrow {\rm i}\partial^\mu f_\mu = {\rm i}\partial_t f_0 - {\rm i}\nabla\cdot {\bf f}$。

根据这些关系，可以把实时空的微分方程，都联系到一个$k$时空中的代数方程。

考虑微分算符$\mathcal D = f(\partial)$是$\partial$的某个函数，按照上述规则它的傅立叶变换应当是$({\rm i}k)$的同一函数，即$\widetilde{\mathcal D(\partial)} = \widetilde{\mathcal D}(k) = f(-{\rm i}k)$，传播子的傅里叶变换记为$\widetilde\Pi$，那么传播子方程在$k$时空的形式为：

$$\widetilde{\mathcal D}(k)\widetilde\Pi = -{\rm i}$$

是一个简单的代数方程。变换回实空间，就得到实时空传播子的表达式：

$$\Pi(x,y) = \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ -{\rm i} }{\widetilde{\mathcal D}(k)} {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} = \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ -{\rm i} }{f(-{\rm i}k)}{\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}$$

因此对于我们之前所讨论的自由场方程：

$$\Big[F(\partial)+G(m)\Big]\phi = 0$$

其传播子为

$$\Pi(x,y) = -{\rm i}\int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ 1 }{F(-{\rm i}k)+G(m)}{\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}$$

或者有时也常用$k$时空的传播子

$$\widetilde\Pi(k) = -{\rm i}\frac{ 1 }{F(-{\rm i}k)+G(m)}$$

关于传播子，有几点需要说明：

1、这里$F(-{\rm i}k)+G(m)$仍有可能不是数，而是矩阵（见下面对矢量场传播子的讨论）或其它类型的量，此时式中的$\frac{ 1 }{F(-{\rm i}k)+G(m)}$形式不是简单的除法，而如前所约定，是表示相应量的逆。

2、从上述定义可以看出，传播子$\Pi(x,y) \equiv \Pi(r)$仅与$r = x - y$相对位置有关，满足坐标平移的不变性。这是因为传播子仅与自由场的性质有关，而自由场方程是坐标无关的。

注：应当指出的是，仅凭前述条件不足以唯一确定传播子的形式。例如，$k$时空传播子方程$\big[F(-{\rm i}k)+G(m)\big]\widetilde\Pi = -{\rm i}$的解总可以差一个$\delta$函数：

$$\widetilde\Pi_X(k) = \widetilde\Pi(k) + \widetilde X(k,\overline x)\delta\big(F(-{\rm i}k)+G(m)\big)$$

（因为$x\delta(x)=0$恒成立）其中$X$可以是$k$的任意函数，并且在某些特殊的非齐次系统中可能也依赖于$\overline x = \frac{1}{2}(x+y)$；约束$\delta\big(F(-{\rm i}k)+G(m)\big)$相当于$\delta(k - \omega)$，其中$k = \omega$是满足$F(-{\rm i}k)+G(m)=0$的解（若有多个解则是多个$\delta$函数相乘）。这相当于在实时空相差一系列特定的平面波

$$\Pi_X(x,y) = \Pi(x,y) + X(r,\overline x) {\rm e}^{ {\rm i}\omega x }$$

这种自由度与具体的边界条件或积分路径选取相关，会出现在一些多体系统的缓变远平衡态统计体系中。当然，绝大多数的情况下取$X(k,\overline x) = 0$即可。

常见类型场的传播子

对标量场，其自由场满足K-G方程：$(\square + m^2)\phi = 0$，$k$时空K-G方程为$(-k^2 + m^2)]\widetilde\phi = 0$。则标量场传播子就是

$$\widetilde\Delta(k) \equiv \widetilde\Pi_\phi(k) = \frac{ {\rm i} }{k^2-m^2}$$

对旋量场，其自由场满足Dirac方程：$({\rm i}\cancel\partial - m)\psi = 0$，$k$时空Dirac方程为$(\cancel k - m)\widetilde\psi = 0$，则旋量场传播子为

$$\widetilde S(k) \equiv -\widetilde\Pi_\psi(k) = \frac{ {\rm i} }{\cancel k - m} = \frac{ {\rm i}(\cancel k + m) }{k^2 - m^2}$$

矢量场的情况稍微复杂一些。有质量自由矢量场满足Proca方程：$\big[(\square + m^2)g^{\mu\nu} - \partial^\nu\partial^\mu\big]A_\nu = 0$，$k$时空Proca方程为$\big[(-k^2 + m^2)g^{\mu\nu} + k^\nu k^\mu\big]\widetilde A_\nu = 0$。注意到此时的微分算符$\mathcal D^{\mu\nu} = (\square + m^2)g^{\mu\nu} - \partial^\nu\partial^\mu$和方程的解$A^\mu$都是带时空指标的，因此矢量场传播子$D_{\mu\nu}^{\rm P} \equiv -(\Pi_A^{\rm P})_{\mu\nu}$本身也应该带时空指标（上标${\rm P}$表示Proca），且其所满足的方程需要添加一个因子——Kronecker符号$\delta^\mu_\rho$：

$$\big[(\square + m^2)g^{\mu\nu} - \partial^\nu\partial^\mu\big]_x D^{\rm P}_{\nu\rho}(x-y) = {\rm i}\delta^\mu_\rho \delta(x-y)$$

或者写在$k$时空为

$$\big[(-k^2 + m^2)g^{\mu\nu} + k^\mu k^\nu\big] \widetilde D^{\rm P}_{\nu\rho}(k) = {\rm i}\delta^\mu_\rho$$

正是等式左侧存在的指标运算使其不能随意相除；若将该等式看作一个$4\times 4$矩阵方程，那么需要找到左侧方括号部分的矩阵的逆矩阵。分析其结构不难发现，若引入两个投影算符：

$$P^T_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\ ,\qquad P^L_{\mu\nu} = \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}$$

分别是投影到与$k^\mu$正交，以及沿$k^\mu$方向的投影算符，它们满足幂等性、相加是$g_{\mu\nu}$、以及相互正交$P^T_{\mu\nu}P^{L\nu}_\rho = P^L_{\mu\nu}P^{T\nu}_\rho = 0$。那么要求逆的部分就可以表达为两者线性组合：

$$(-k^2 + m^2)g_{\mu\nu} + k_\mu k_\nu = (-k^2 + m^2) P^T_{\mu\nu} + m^2 P^L_{\mu\nu}$$

那么不难验证，其逆可以很简单地表达为：

$$\begin{aligned} \widetilde D^{\rm P}_{\mu\nu}(k) =& {\rm i} \frac{P^T_{\mu\nu} }{-k^2 + m^2} + {\rm i}\frac{P^L_{\mu\nu} }{m^2}\\ =& {\rm i} \frac{1 }{-k^2 + m^2}\left[g_{\mu\nu} - \dfrac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right] + {\rm i}\frac{1 }{m^2}\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\\ =& \frac{ {\rm i} }{k^2 - m^2}\left[ -g_{\mu\nu} + \dfrac{k_\mu k_\nu}{m^2}\right] \end{aligned}$$

此即有质量矢量场传播子。

注意到有质量矢量场的传播子$\widetilde D^{\rm P}_{\mu\nu}(k)$在取$m\to 0$时会发散，表明不能简单地将其套用到零质量矢量场，而后者正是诸多理论中常见的。为此需要单独考虑零质量矢量场的情况，考虑零质量自由矢量场满足的真空Maxwell方程：$\big[\square g^{\mu\nu} - \partial^\nu\partial^\mu\big]A_\nu = 0$，$k$时空的真空Maxwell方程为$\big[-k^2 g^{\mu\nu} + k^\nu k^\mu\big]\widetilde A_\nu = 0$。

再次强调，该方程存在描述上的冗余，因为零质量的矢量场只可能有两个横模，所以必须为该方程施加约束条件（在规范场时，就是规范条件）。常用的一种是洛伦兹规范：$\partial_\mu A^\mu = 0$，在此规范下方程变为$\big[-k^2 g^{\mu\nu}\big]\widetilde A_\nu = 0$，于是相应的传播子也变为

$$\widetilde D^{\rm M}_{\mu\nu}(k) = \frac{ -{\rm i}g_{\mu\nu} }{k^2}$$

必须指出的是，这只是对零质量矢量场传播子的一个非常粗糙的讨论，严格的讨论会在后面再次进行。

回顾本小节给出的标量场、旋量场、矢量场传播子，它们在形式上具有共性：即一个投影算符除以$k^2-m^2$。后面的讨论将会表明，变量$k^\mu$的物理意义正是4-动量，因此传播子的极点$k^2=m^2$实际是对应着代表真实物理态的在壳条件。

而分子的投影算符，对标量场，该投影算符就是恒等算符$P_\phi = I$，当然也可看作投影到其本身唯一的物理允许态上；旋量场则是投影到正能态的$P_\psi = \cancel k + m$；有质量矢量场是横向投影算符$P^T_{\mu\nu}$，投影到横向的矢量极化态。这表明传播子的分子，就是取真实物理态的投影算符。

点源产生的规范势

注意到传播子的物理意义是表明场在自由状态下在时空中的传播情况；为了验证这一点，一个简单的例子是利用传播子计算点源的势。考虑如下位于${\bf x}$处强度为$e$的静止点源：

$$J^\mu(x) = \left\{ \begin{aligned} J^0(x) &= \rho({\bf x}) = e \delta^{(3)}({\bf x})\\ J^i(x) &= 0 \end{aligned} \right.$$

我们来计算它所激发的规范场在时空中的分布。

库伦势

设在某理论中，源$J^\mu(x)$以如下方式耦合到一个无质量的矢量场：

$$\mathscr L = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^2 - A_\mu J^\mu$$

传播子只表示自由场的传播性质，因此这里暂且不考虑存在自相互作用的情况。此时的矢量场场满足动力学方程是

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu = \square A^\nu - \partial_\mu \partial^\nu A^\mu$$

原则上只要利用零质量矢量场的传播子，就能立即得到结果。但是到目前为止我们还没有严格建立零质量矢量场的传播子，本小节就作为对零质量矢量场的一个例子来进行试探性讨论。

在规范理论的讨论可知，要计算零质量矢量场获得一个确定的结果，必须要引入一定的规范条件来消除冗余。常用的一种选择是洛伦兹规范$\partial_\mu A^\mu = 0$，则得到$\square A^\mu(x) = J^\mu(x)$，于是

$$A^\mu(x) = \frac{1}{\square} J^\mu(x) = \left\{ \begin{aligned} A^0(x) &= -\frac{e}{\triangle} \delta^{(3)}({\bf x})\\ A^i(x) &= 0 \end{aligned} \right.$$

在三维${\bf k}$空间求解$A^0(x)$：

$$\begin{aligned} A^0(x) =& \int\frac{ {\rm d}^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e}{ {\bf k}^2}{\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}}\\ =& \frac{e}{(2\pi)^3} \int_0^\infty k^2{\rm d}k \int_{-1}^1 {\rm d}\cos\theta \int_0^{2\pi}{\rm d}\phi \frac{ 1}{ {\bf k}^2} {\rm e}^{ {\rm i}kr\cos\theta}\\ =& \frac{e}{(2\pi)^3} \int_0^\infty {\rm d}k \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}kr} - {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{ {\rm i}kr}\\ =& \frac{e}{8{\rm i}\pi^2r} \int_{-\infty}^\infty {\rm d}k \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}kr} - {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{k} \end{aligned}$$

显然$k=0$是被积函数的极点，积分必须规避掉。注意到$k\to 0$时被积函数不发散，因而在该点附近应当对分母的微小变化不敏感；因此积分可以改写为

$$\int_{-\infty}^\infty {\rm d}k \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}kr} - {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{k} = \lim_{\epsilon\to 0} \int_{-\infty}^\infty {\rm d}k \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}kr} - {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{k+{\rm i}\epsilon}$$

通过这种改写，在远离极点的位置对积分毫无影响；在极点附近，若$\epsilon>0$则将极点移动到了虚轴负半轴上的$k = -{\rm i\epsilon}$处。计算这样的无穷积分，相当于在复平面上作围道积分，围道的一部分是实轴，另一部分是无穷远的上半或下半圆周。对${\rm e}^{ {\rm i}kr}$，为使其在大$k$处指数衰减只能取上半围道，这样的围道不包含极点，给出零贡献；对${\rm e}^{-{\rm i}kr}$则取下半围道，根据留数定理得到：

$$\int_{-\infty}^\infty {\rm d}k \frac{- {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{k+{\rm i}\epsilon} = \oint_{C^-} {\rm d}k \frac{- {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{k+{\rm i}\epsilon} = -(2\pi{\rm i})(-{\rm e}^{-{\rm i}(-{\rm i}\epsilon) r}) = 2\pi{\rm i}{\rm e}^{-\epsilon r}$$

因此最终取$\epsilon\to 0$后就得到

$$A^\mu(x) = \left\{ \begin{aligned} A^0(x) &= \frac{e}{4\pi} \frac{1}{r}\\ A^i(x) &= 0 \end{aligned} \right.$$

此即静止点源所产生的库伦势。由于它是按$r^{-1}$幂次衰减，因此是长程力。

在物理上，库伦势的最广为人知的例子就是$A^\mu$为电磁势，此时电磁场是零质量的矢量场。另外一些存在自相互作用的规范场，例如胶子场，它们产生的势函数也会有库伦势的成分；另外一些成分则来自于其自相互作用。事实上自相互作用耦合常数$g$在弱耦合$g\to 0$时，势函数的极限就是库伦势。

汤川势

另一方面，可以考虑与上一个例子完全相同的点源$J^\mu(x)$耦合到一个有质量矢量场的情况：

$$\mathscr L = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^2 + \frac{1}{2}m^2 A^2_\mu - A_\mu J^\mu$$

这里的矢量可能是规范场通过Higgs机制得到的，或者本身就是一个有质量的矢量场。无论如何，按照与上一个例子类似的计算可以得到

$$\begin{aligned} A^0(x) =& \int\frac{ {\rm d}^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e}{ {\bf k}^2+m^2}{\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}}\\ =& \frac{e}{(2\pi)^2} \int_0^\infty {\rm d}k \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}kr} - {\rm e}^{-{\rm i}kr} }{ {\rm i}kr} \frac{k^2}{k^2+m^2}\\ =& \frac{e}{4{\rm i}\pi^2r} \int_{-\infty}^\infty {\rm d}k \frac{ k{\rm e}^{ {\rm i}kr} }{k^2+m^2} \end{aligned}$$

该积分有两个极点：$k = \pm {\rm i} m$。出于与上一个例子同样的理由，取上半围道，其只包含了$k = +{\rm i}m$处的极点。根据留数定理得到

$$A^\mu(x) = \left\{ \begin{aligned} A^0(x) &= \frac{e}{4\pi} \frac{ {\rm e}^{-m r} }{r}\\ A^i(x) &= 0 \end{aligned} \right.$$

就得到有质量矢量场的汤川势。显然，当其取$m=0$立即回到库伦势。从中可以看出，正是由于质量的存在，使得汤川势相比于长程的库伦势多了一个指数压低的因子${\rm e}^{-mr}$；质量越大，力程越短。

在物理上，汤川势最广为人知的例子就是$\pi$介子场，这也是汤川最初提出汤川理论所描述的对象。$\pi$介子场是一个轻质量的矢量场，被认为传递核力。汤川势很好地描述了这种核力的性质。

传播子的严格形式

到目前为止，基于求解微分方程的方法，建立了传播子的基本概念。但其在应用到物理理论中仍然面对若干问题，例如：

1、极点问题：根据前面的讨论，可以看到传播子都有极点，即满足$F(-{\rm i}k)+G(m) = 0$的零点。前面已经说明， 真实物理上的传播子，其分母都是$k^2-m^2$，由于

$$k^2-m^2 = (k^0)^2 - {\bf k}^2 - m^2$$

因此传播子存在极点，可以归结为$k^0 = \pm \omega_{\bf k} = \pm\sqrt{ {\bf k}^2+m^2}$，即在壳条件。四维积分$\int{\rm d}^4k$是实积分，不可避免会经过极点；需要采取一定的方法将其规避掉。

2、时序性问题：在之前的讨论中，对$\Pi(x,y)$中两时空点$x$和$y$之间的关联没有做出限制；但我们知道，$x^0>y^0$和$x^0y^0$与$x^0<y^0$的情况。

3、源与汇问题：这与第2点是相关的。我们在前面将$y$点解释为激发或扰动场的“源”点；但实际上场或粒子除了被激发、产生，也存在被吸收、抑制的现象。将会看到这也可以用传播子来描述；事实上这种场点$x$与源/汇点$y$之间不同的关系，与其所在点$x$与$y$的时序性是紧密相关的。

4、因果性问题：在时序性的基础上，进一步应当考虑相对论性理论的因果性。相对论要求，具有动力学关联的两点一定应当是类时的；换句话说，只有当$x$点在$y$点的未来光锥之内，两者才应该具有可观测的物理关联。这告诉我们要小心检查传播子在类时、类空间隔时的行为。

为了解决这些问题，需要我们为传播子建立更物理化的定义。我们将会首先从数学角度给出解决方案，再将其移植到物理上的传播子。为简单起见，本小节如不加说明，先以标量场的情况为例。

问题处理思想与基本数学工具

极点问题

首先讨论极点问题。注意到由于极点满足$k^0 = \pm \omega_k = \pm\sqrt{ {\bf k}^2+m^2}$，我们可以认为极点只存在于对$k^0$的积分中，尽管$\omega_k$与${\bf k}$也有关。对$k^0$的积分，不加说明应当是无穷积分：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}k^0$，由于极点的存在，其同时也是瑕积分；因此该积分应当通过柯西主值来定义，即先在不包含极点的有限区间内进行积分，再取积分区间的极限。

数学上形如$(x-x_0)f(x)=1$的方程，要想得到定义在全$x\in(-\infty,\infty)$的解$f(x)$，需要通过广义函数来定义，即

$$(x-x_0)\left[ {\rm P.V.} \left(\frac{1}{x-x_0}\right) + c\delta(x-x_0) \right] = 1$$

其中${\rm P.V.}$代表括号中函数的柯西主值积分；这是一个广义函数解，也是原方程解最一般的形式。而数学上可以证明，柯西主值有广义函数意义下的表达式：

$${\rm P.V.}\left(\frac{1}{x-x_0}\right) = \frac{1}{x - x_0 + {\rm i} 0^\pm} \equiv \lim_{\epsilon\to 0^+}\frac{1}{x-x_0 \pm {\rm i}\epsilon}$$

观察不难看出，当$x\neq x_0$时，它是实数；而一旦在$x=x_0$处，立即变为一个巨大的纯虚数，且

$${\rm Im} \frac{1}{x - x_0 + {\rm i} 0^\pm} = {\rm Im} \lim_{\epsilon\to 0^+}\frac{1}{x-x_0 \pm {\rm i}\epsilon} = \pm \pi \delta(x-x_0)$$

这是一个比较重要的性质。

上述的这种思想，在物理上通常可以简单地理解为：将原本定义在实轴上，且极点位于实轴的$\dfrac{1}{x-x_0}$进行解析延拓到$x$-复平面，并通过加一小量${\rm i}\epsilon$来将极点沿虚轴方向平移，此时新的极点就是$x = x_0 \mp {\rm i}\epsilon$。数学上保证了这样的改动仍然满足原本的方程。

在物理上更常见的是前述图像的另一种等价理解方式，即保持极点位置不变仍是$x=x_0$，但是当积分路径经过实轴上的极点时，取了一个微小的绕行路径；若是$+{\rm i}\epsilon$，则是从上方绕行；$-{\rm i}\epsilon$则是从下方绕行。这两种理解方式其实就是积分路径与极点相对位置的两种等价描述。

由于在$x$-复平面的无穷远处$\dfrac{1}{x-x_0}\to 0$（更一般地说，物理上的传播子被积函数在大$k^0$极限下一般也都趋于零），因此原本实轴上的无穷积分，就可化为复平面上的围道积分，围道的一部分是实轴，另一部分就是无穷远的上半或下半圆周，而被积函数一般在无穷远半圆周处会衰减为零，从而这样的围道积分确实只等于实轴上的积分；围道会包围了极点$x = x_0 \mp {\rm i}\epsilon$（或者只有其中一个极点），此时按照复变函数的留数定理计算积分即可（需要注意围道的绕行方向，一般包含上半圆周的是逆时针，包含下半圆周的是顺时针）。

理论上讲围道取上半、下半都是可以的；但由于实际物理上传播子的积分常常会伴随一些指数函数${\rm e}^{ -{\rm i}kx}$，它只会在无穷远上半圆周或无穷远下半圆周中的一个处衰减为零，此时就要小心地选取两个围道中使函数衰减的一个来计算围道积分，这样留数定理给出的结果才能等于原本要计算的实轴上的积分；否则还会引入难以处理的无穷远半圆周上的贡献。

时序性问题

对于在极点两侧对称的函数来说，上述柯西主值表达式分母中${\rm i}\epsilon$前是$+$号还是$-$号都是一样的，但对于在某些间断点两侧不对称的函数则并非如此；最重要的例子就是所谓Heaviside阶跃函数，它在物理上常常被用于描述时序性的限制。

Heaviside阶跃函数可以用普通函数的分段形式来表达：

$$\Theta(x-x_0) = \left\{ \begin{aligned} 0\ ,\quad x<x_0\\ 1\ ,\quad x>x_0 \end{aligned} \right.$$

而$x=x_0$则是其间断点。

形式上来讲，阶跃函数的“导数”就是$\delta$函数；而$\delta$函数的傅里叶变换是$1$，因此根据傅里叶变换的性质，阶跃函数的傅里叶变换应当取$\dfrac{1}{k}$的形式：

$$\Theta(x-x_0) \sim \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi} \frac{ -{\rm i} }{k}{\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)}$$

这再次涉及到极点问题；依照前面的讨论，需要将被积函数解析延拓到复平面，实轴上的无穷积分改为对包含无穷远半圆周的围道积分；同时利用纯虚小量${\rm i}\epsilon$将极点沿虚轴方向移动，从而利用留数定理进行计算。

对于这样在$x=x_0$两侧不对称的函数，应当不可能两种$\pm{\rm i}\epsilon$得到一样的结果。不妨先研究取负号时的情况：

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi} \frac{ -{\rm i} }{k+{\rm i}0^-}{\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)} = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi{\rm i} } \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)} }{k - {\rm i}\epsilon}$$

此时极点$k={\rm i}\epsilon$位于正半虚轴。原则上，对这样的函数积分，取上半、下半围道积分都是可以的；但分子上的${\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)}$导致，当$x>x_0$时只能取上半围道才是可计算的，此时围道包含极点，计算结果是：

$$x>x_0\ :\qquad\lim_{\epsilon\to 0^+} \oint_{C^+} \frac{ {\rm d}k}{2\pi{\rm i}} \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)} }{k - {\rm i}\epsilon} = \lim_{\epsilon\to 0^+}{\rm e}^{-\epsilon (x-x_0)} = {\rm e}^0 = 1$$

另一方面，当$x<x_0$时，要取下半围道，此时不包含极点，计算结果是：

$$x<x_0\ :\qquad\lim_{\epsilon\to 0^+} \oint_{C^-} \frac{ {\rm d}k}{2\pi{\rm i} } \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)} }{k - {\rm i}\epsilon} = 0$$

于是这就说明了，对于Heaviside阶跃函数$\Theta(x-x_0)$，其傅里叶变换的极点确实应当按照下式来取：

$$\Theta(x-x_0) = \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi} \frac{ -{\rm i} }{k-{\rm i}0^+}{\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)} = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi} \frac{ -{\rm i} }{k - {\rm i}\epsilon}{\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)}$$

据此，其相反的阶跃函数$\Theta(-(x-x_0))$也可表为：

$$\Theta(-(x-x_0)) = \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi} \frac{ -{\rm i} }{k-{\rm i}0^+}{\rm e}^{ -{\rm i}k (x-x_0)} = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k}{2\pi} \frac{ {\rm i} }{k + {\rm i}\epsilon}{\rm e}^{ {\rm i}k (x-x_0)}$$

对广义函数熟悉的话，上述结论也可从另一个角度得到：考虑阶跃函数的傅立叶变换：

$$\widetilde\Theta(k) = \int_{-\infty}^\infty {\rm d}x\ \Theta(x){\rm e}^{-{\rm i}kx} = \int_0^\infty {\rm d}x\ {\rm e}^{-{\rm i}kx}$$

简单地进行该积分，结果具有幂次$k^{-1}$的发散行为；为此从广义函数角度，考虑添加一个指数衰减来控制发散，并取这样的极限：

$$\int_0^\infty {\rm d}x\ {\rm e}^{-{\rm i}kx} = \lim_{\epsilon\to 0^+}\int_0^\infty {\rm d}x\ {\rm e}^{-{\rm i}kx}{\rm e}^{-\epsilon x} = \lim_{\epsilon\to 0^+}\frac{1}{ {\rm i}k+\epsilon} = \frac{-{\rm i} }{k-{\rm i}0^+}$$

也得到了相同的结论。因此在广义函数的角度，阶跃函数的傅里叶变换就是

$$\widetilde\Theta(k) = \frac{-{\rm i} }{k-{\rm i}0^+}$$

场的模式展开

在回到传播子之前，再简单引入一下场论中经常用到的一个概念：场的模式展开。考虑场方程（如本节开头所言，以实标量场为例）：

$$(\square + m^2)\phi(x) = 0$$

由于物理上的场方程总是满足在壳条件$k^2=m^2$，其解$\phi(x)$首先一定是在壳的；又由于平面波${\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu x^\mu}$构成四维时空上的函数空间的一组完备基，因此任意解总可以展开为（其前面的系数$(2\pi)$只是约定习惯）：

$$\phi(x) = (2\pi)\int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4}\phi(k)\delta^{(4)}(k^2-m^2) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu x^\mu}$$

而$k^2=m^2$有两个解，可以归结为其第零分量的两个取值$k^0 = \pm \omega_{\bf k} = \pm \sqrt{ {\bf k}^2+m^2}$，换句话说对原方程的任何一个频率为$k^0=+\omega_{\bf k}$的解，都存在一个相反频率$k^0=-\omega_{\bf k}$的解；因此在积分意义上：

$$\delta^{(4)}(k^2-m^2) = \delta((k^0)^2-\omega_{\bf k}^2) = \frac{1}{2\omega_{\bf k} }\left[ \delta(k^0-\omega_{\bf k}) + \delta(k^0+\omega_{\bf k}) \right]$$

于是$\delta$函数的存在相当于取消了$k^0$的积分而只允许其取两个值$\pm\omega_{\bf k}$；利用$\Theta(x)+\Theta(-x) = 1$，可将$\phi(x)$分成对后续的量子化具有重要意义的两部分$\phi(x)=\phi^{(+)}(x)+\phi^{(-)}(x)$，其中：

$$\phi^{(\pm)}(x) =(2\pi)\int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4}\phi(k)\Theta(\mp k^0)\delta^{(4)}(k^2-m^2) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu x^\mu}$$

（注意这里$\phi$上角标与$\Theta$函数中$k^0$符号相反）再利用下式

$$(2\pi)\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \Theta(\mp k^0) \delta^{(4)}(k^2-m^2) = \frac{ {\rm d}k^0{\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} }\delta(k^0\pm\omega_{\bf k})$$

于是

$$\phi^{(\pm)}(x) = \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } a^{(\pm)}({\bf k}) {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}\pm{\rm i}\omega_k x^0}$$

其中

$$a^{(\pm)}({\bf k}) = \int{\rm d}k^0 \phi(k) \delta(k^0\pm \omega_k)$$

于是任一$\phi(x)$都能分解为正负频部分之和：

$$\begin{aligned} \phi(x) =& \phi^{(-)}(x) + \phi^{(+)}(x)\\ =& \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } \left[ a^{(-)}({\bf k}) {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}-{\rm i}\omega_k x^0} + a^{(+)}({\bf k}) {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}+{\rm i}\omega_k x^0} \right]\\ =& \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } \left[ a^{(-)}({\bf k}) {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}-{\rm i}\omega_k x^0} + a^{(+)}(-{\bf k}) {\rm e}^{-{\rm i}{\bf k}\cdot{\bf x}+{\rm i}\omega_k x^0} \right]\\ =& \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } \left[ a^{(-)}({\bf k}) {\rm e}^{-{\rm i}k_\mu x^\mu} + a^{(+)}(-{\bf k}) {\rm e}^{ {\rm i}k_\mu x^\mu} \right] \end{aligned}$$

其中：

$$\begin{aligned} a_{\bf k} &\equiv a^{(-)}({\bf k}) = \int{\rm d}k^0 \phi(k) \delta(k^0- \omega_k)\\ a^\dagger_{\bf k} &\equiv a^{(+)}(-{\bf k}) = \int{\rm d}k^0 \phi(-k) \delta(k^0-\omega_k) \end{aligned}$$

注1：这两个函数$a_{\bf k} = a^{(-)}({\bf k})$和$a^\dagger_{\bf k} = a^{(+)}(-{\bf k})$在经过正则量子化为算符后具有非常重要的物理意义，分别是相应场$\phi$的湮灭算符和产生算符。

这里可以看到，将场$\phi$按照正负频模式展开，自然写成了三维傅里叶变换的形式，积分只在${\bf k}$进行。

Wightman函数

最后一个基本工具是所谓Wightman函数。回到物理上的传播子，注意到其本身的意义：自由场在时空中的传播性质。要研究这样的性质，最直接的就是求解自由场方程：

$$\Big[F(\partial)+G(m)\Big] W(x,y) = 0$$

其中$W(x,y)$是我们所设的一类解，按照传播子的形式写成了两点依赖的形式，称其为Wightman函数；它既具有自由场的性质，又具有描述两点关联的潜力。

我们希望Wightman函数能成为构造各具体函数（包括各种类型的传播子，以及实际的物理场等等）的基础工具，所以要尽量一般化地定义它；考虑到场本身可以按照正负频来分解，因此我们也可以将Wightman函数分成正频和负频两部分，定义如下：

$$\begin{aligned} W^{(\pm)}(x,y) =& (\mp 2\pi{\rm i}) \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4}\Theta(\mp k^0)\delta^{(4)}(k^2-m^2) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}\\ =& \mp{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})\mp{\rm i}\omega_k (x^0-y^0)} \end{aligned}$$

其中$W^{(-)}$由于对${\bf k}$的积分存在对称性，故这两个函数又可以等价写为

$$\begin{aligned} W^{(\pm)}(x,y) =& \mp{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}\big[{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})\mp\omega_k (x^0-y^0)\big]}\\ =& \mp{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{\pm{\rm i}\big[{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})-\omega_k (x^0-y^0)\big]}\\ =& \mp{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{\mp {\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} \end{aligned}$$

显然两者是共轭的：

$$W^{(+)}(x,y) = \left[ W^{(-)}(x,y) \right]^* = -W^{(-)}(y,x)$$

另一个角度，$W(x,y)$除了按照正负频分类，作为两个点$x$和$y$的函数，也可以按照关于这两点交换的对称性来分类。这可以通过前面两者相加减得到：

$$\begin{aligned} \overline W(x,y) = W^{(+)}(x,y) - W^{(-)}(x,y)\\ \widetilde W(x,y) = W^{(+)}(x,y) + W^{(-)}(x,y) \end{aligned}$$

这里$\overline W(x,y)$对$x$、$y$是对称的，而$\widetilde W(x,y)$是反对称的。此外，由于正负频互为复共轭，则$\overline W(x,y)$是纯虚而$\widetilde W(x,y)$是纯实数。

这两个函数$\overline W(x,y)$和$\widetilde W(x,y)$在量子场论中也扮演重要角色，分别对应于两个分处$x$和$y$处场算符的反对易子和对易子。

利用符号函数：

$${\rm sgn}(x-x_0) = 2\Theta(x-x_0)-1 = \left\{ \begin{aligned} -1\ ,\quad x<x_0\\ 1\ ,\quad x>x_0 \end{aligned} \right.$$

它们也可以写成积分的形式：

$$\begin{aligned} \widetilde W(x,y) =& (2\pi{\rm i}) \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} {\rm sgn}(k^0) \delta^{(4)}(k^2-m^2) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}\\ =& -{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 } \frac{ {\rm e}^{-{\rm i}\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} - {\rm e}^{ {\rm i}\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} }{2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y}) }\\ =& - \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 } \frac{\sin\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} {\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y}) } \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \overline W(x,y) =& (-2\pi{\rm i}) \int\frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \delta^{(4)}(k^2-m^2) {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}\\ =& -{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 } \frac{ {\rm e}^{-{\rm i}\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} + {\rm e}^{ {\rm i}\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} }{2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y}) }\\ =& -{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 } \frac{\cos\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} {\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y}) } \end{aligned}$$

从这种表达式中也能看出，$\widetilde W(x,y)$的反对称性来自于两个点间隔的时间部分$x^0-y^0$，而非空间部分${\bf x}-{\bf y}$。这种性质非常好，它反映了物理上空间的对称性和时间的单向性。

以上这些各类$W(x,y)$函数统称为Wightman函数，它们都是自由场方程的解，都依赖于两点$x$和$y$且只依赖于其差$x-y$；同时也是对解从不同角度（正负频、对称性）进行分类的结果。从构造角度讲，它们具有非常一般的形式；其傅里叶变换$W(k)$可以与$k$时空中的其他函数相乘来构造自由场方程的各种可能的解。下面就会用Wightman函数来构造场论中各种类型的传播子。

超前传播子、推迟传播子，因果传播子

作为两点$x$、$y$的反对称函数，$\widetilde W(x,y)$只对时间部分$x^0-y^0$反对称，而对空间部分${\bf x}-{\bf y}$对称；它也同时包含了正负频成分；他还是洛伦兹不变的（四个Wightman函数都是洛伦兹不变的）；此外，$\widetilde W(x,y)$还具有一些很好的性质，包括：

$$\widetilde W(x,y)\Big|_{x^0=y^0} = 0$$ $$\widetilde W(x,y)\Big|_{(x-y)^2<0} = 0$$

即在时间间隔为零、或类空间隔的两点，$\widetilde W(x,y)$为零；这些性质使其在构造传播子时具有重要意义。

它本身不是传播子，因为它满足自由场方程而非传播子方程；那么如何从中构造传播子呢？考虑到前面讨论的时序性的要求，我们不妨先尝试直接定义如下的函数：

$$\begin{aligned} \Pi_R(x,y) =& -\Theta(x^0-y^0) \widetilde W(x,y)\\ \Pi_A(x,y) =& \Theta(y^0-x^0) \widetilde W(x,y) \end{aligned}$$

阶跃函数的存在限定了这两个函数分别描述的是两个点$x$、$y$在时间上不同的先后情况。可以利用$\widetilde W(x,y)$的性质，和它的另外一条性质

$$\left.\frac{\partial}{\partial x^0 } \widetilde W(x,y)\right|_{x^0=y^0} = -\delta^{(3)}({\bf x}-{\bf y})$$

以及$\dfrac{\rm d}{ {\rm d}x}\Theta(\pm x) = \pm \delta(x)$，证明这两个函数满足传播子方程，从而确实是传播子。

利用前几节的结论，这两个传播子分别具有表达式：

$$\begin{aligned} \Pi_{R/A}(x,y) =& \mp\Theta(\pm(x^0-y^0)) \widetilde W(x,y)\\ =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{ {\rm d}k_r}{2\pi } \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}k_r (x^0-y^0)} }{k_r \mp {\rm i}\epsilon} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 } \left[ \frac{ {\rm e}^{-{\rm i}\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} }{2\omega_{\bf k} } - \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}\omega_{\bf k} (x^0-y^0)} }{2\omega_{\bf k} } \right] {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y}) }\\ =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}k_r{\rm d}^3k}{(2\pi)^4 } \left[ \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}(k_r-\omega_{\bf k}) (x^0-y^0)} }{2\omega_{\bf k}(k_r \mp {\rm i}\epsilon)} - \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}(k_r+\omega_{\bf k}) (x^0-y^0)} }{2\omega_{\bf k}(k_r \mp {\rm i}\epsilon)} \right] {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y}) } \end{aligned}$$

通过在两项中分别重定义新的积分变量为$k^0 \equiv -k_r \pm \omega_{\bf k}$，得到

$$\begin{aligned} \Pi_{R/A}(x,y) =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}k^0{\rm d}^3k}{(2\pi)^4 2\omega_{\bf k} } \left[ \frac{1}{(\omega_{\bf k}-k^0) \mp {\rm i}\epsilon} - \frac{1}{(-\omega_{\bf k}-k^0) \mp {\rm i}\epsilon} \right] {\rm e}^{ {\rm i}\big[{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})-\omega_{\bf k} (x^0-y^0)\big] }\\ =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{2\omega_{\bf k} } \left[ \frac{1}{k^0 + \omega_{\bf k} \pm {\rm i}\epsilon} - \frac{1}{k^0 - \omega_{\bf k} \pm {\rm i}\epsilon} \right]\\ =& -\lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ (k^0 \pm {\rm i}\epsilon)^2-\omega_{\bf k}^2 } \end{aligned}$$

或者也可将其表示为

$$\begin{aligned} \Pi_{R/A}(x,y) =& -\lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ k^2 - m^2 \pm 2{\rm i}k^0\epsilon }\\ =& -\lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ k^2 - m^2 \pm {\rm i}{\rm sgn}(k^0)\epsilon } \end{aligned}$$

这是其更常用的表示方法。

根据之前的讨论我们知道，这个表达式在物理上意味着，我们将$k^0$的实积分解析延拓到$k^0$-复平面上进行围道积分，${\rm i}\epsilon$前的符号代表着对积分围道的一种选取，即它在实轴上如何绕过极点：对于$\Pi_R$所指定的方式，是对于$k^0 = \pm \omega_{\bf k}$的两个极点都从上方（虚轴正半轴方向）绕过；对于$\Pi_A$所指定的方式，是对于$k^0 = \pm \omega_{\bf k}$的两个极点都从下方（虚轴负半轴方向）绕过。

这样选取围道的直接后果就是，会对$x^{0}>y^{0}$和$x^{0}y^{0}$的情况，这时被积函数在大$k^{0}$极限下只有在虚轴负方向才能指数衰减到零，因此积分围道应当取无穷远的下半圆周；利用留数定理可知，此时的围道以顺时针方向同时包围了两个极点，计算结果是：

$$x^0>y^0\ :\qquad \begin{aligned} \Pi_{R}(x,y) = & -\lim_{\epsilon\to 0^+} \oint_{C^-} \frac{ {\rm d}k^0}{2\pi} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ (k^0 + {\rm i}\epsilon)^2-\omega_{\bf k}^2 }\\ =& {\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3} \left[ \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}\big[{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})+\omega_{\bf k} (x^0-y^0)\big] } }{2\omega_{\bf k} } + \frac{ {\rm e}^{ {\rm i}\big[{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})-\omega_{\bf k} (x^0-y^0)\big] } }{-2\omega_{\bf k} } \right]\\ =& -\int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{ \sin \omega_{\bf k} (x^0-y^0) }{\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})} \end{aligned}$$

由于计算过程避免了积分路径直接经过极点，而结果中不出现$\epsilon$，因此其中已经安全地取了$\lim_{\epsilon\to0}$的极限。另一方面，当$x^0<y^0$时应当取无穷远的上半圆周，此时的围道不包围极点，因此$\Pi_{R}(x,y)$的结果就是零。

于是，$\Pi_R$的最终结果是：

$$\Pi_R(x,y) = \left\{ \begin{aligned} -\int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{ \sin \omega_{\bf k} (x^0-y^0) }{\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})}\ ,&\qquad x^0>y^0\\ 0\ ,&\qquad x^0<y^0 \end{aligned} \right.$$

可以看到，这其实就是$\Pi_R(x,y) = -\Theta(x^0-y^0) \widetilde W(x,y)$的原始定义；它只有$x^0>y^0$的贡献。同样，对$\Pi_A$也能得到：

$$\Pi_A(x,y) = \left\{ \begin{aligned} 0\ ,&\qquad x^0>y^0\\ \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{ \sin \omega_{\bf k} (x^0-y^0) }{\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i}{\bf k}\cdot({\bf x}-{\bf y})}\ ,&\qquad x^0<y^0 \end{aligned} \right.$$

并且两者的$k$时空形式分别为：

$$\begin{aligned} \widetilde \Pi_{R/A}(k) =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{ -1 }{ k^2 - m^2 \pm {\rm i}k^0\epsilon }\\ =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{ -1 }{ (k^0 \pm {\rm i}\epsilon)^2-\omega_{\bf k}^2 }\\ =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{ 1 }{2\omega_{\bf k} } \left[ \frac{1}{k^0 + \omega_{\bf k} \pm {\rm i}\epsilon} - \frac{1}{k^0 - \omega_{\bf k} \pm {\rm i}\epsilon} \right] \end{aligned}$$

回顾传播子$\Pi(x,y)$的物理意义被解释为，从$y$点将场的扰动在时空中传播到$x$点。因此$\Pi_R(x,y)$仅有$x^0>y^0$的贡献，意味着它只能将”较早时刻“的扰动传播到”较晚时刻“，这似乎是符合物理直觉的；与之相反，$\Pi_A(x,y)$仅能将”较晚时刻“的扰动传播到”较早时刻“，换句话说过去的结果取决于未来的扰动。因此，这两者分别被称为推迟传播子$\Pi_R(x,y)$和超前传播子$\Pi_A(x,y)$，以表明它们所描述的”结果“相对于”原因“的时间先后，即因果性；这两者也统称为因果传播子。

超前传播子$\Pi_A(x,y)$似乎不太符合物理直觉；但注意到$\Pi_A(x,y) = \Pi_R(y,x)$，可知，场从某个”源”$y$点出发开始的”超前传播“，可以视为一个沿着相反的时空路径进入$y$点的推迟传播——这种观点为所谓超前传播提供了一种物理上合理的观点，即它是正常推迟传播的一种反向描述。在这种观点下，$y$点不再是场扰动开始传播的”源“，而不如说是场扰动结束传播的”汇“。

这就看到，理论中激发、产生场扰动的源，可以在另一种观点下视作抑制、吸收场扰动的汇。也因此，推迟传播子$\Pi_R(x,y)$和超前传播子$\Pi_A(x,y)$分别描述了只具有源和只具有汇的两类场论。若在量子化后的观点来看，这意味着（在某个顺时观察者看来）推迟传播子$\Pi_R(x,y)$只能描述粒子被场的激发所产生；而超前传播子$\Pi_A(x,y)$只能描述粒子被场的抑制所吸收。

这样的描述当然是有缺陷的；除了我们希望描述一个同时包含源和汇的场论之外，最主要的就是$\Pi_R(x,y)$和$\Pi_A(x,y)$都不是洛伦兹不变的。理想的相对论性场论应当具有洛伦兹不变的传播子；这意味着要综合考虑超前传播和推迟传播两种贡献。

另外一点要注意到，这两个传播子都同时包含正频率$k^0 = \omega_{\bf k}$成分以及负频率$k^0 = -\omega_{\bf k}$成分。并且推迟传播子同时将正负频两种成分都顺时传播；超前传播子则将两者都逆时传播。

费曼传播子

要构造同时包含源和汇的场论，即要构造一种同时具有顺时、逆时成分的传播子。回顾超前传播子和推出传播子的极点结构，它们之所以分别只具有顺时和逆时中的一种贡献，是因为在构造时令积分路径同时从两个极点的同一侧绕过；或者等价地说，将两个极点移动到了实轴的同一侧。那么自然可以考虑构造一种传播子，其在实轴上的积分路径在绕过两个极点时分别采取不同的绕行方向；或者等价地说，将两个极点分别移动到实轴上下两侧。

不妨令正频极点$k^0=\omega_{\bf k}$向虚轴负方向移动，同时令负频极点$k^0=-\omega_{\bf k}$向虚轴正方向移动；这等价于积分路径从下方绕过负频极点，并从上方绕过正频极点。这样的传播子可以直接写出来：

$$\begin{aligned} \Pi_F(x,y) =& \lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{2\omega_{\bf k} } \left[ \frac{1}{k^0 + \omega_{\bf k} - {\rm i}\epsilon} - \frac{1}{k^0 - \omega_{\bf k} + {\rm i}\epsilon} \right]\\ =& -\lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ (k^0)^2-(\omega_{\bf k} - {\rm i}\epsilon)^2 } \end{aligned}$$

称之为费曼传播子。此时无论是$x^0>y^0$还是$x^0<y^0$的情况，选取适当的积分围道时都会包含一个极点在内，因此这样的传播子同时包含了超前传播和推出传播两种成分。类似于因果传播子，费曼传播子也有更常用的表示方法：

$$\begin{aligned} \Pi_F(x,y) =& -\lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ k^2 - m^2 + 2{\rm i}\omega_{\bf k}\epsilon }\\ =& -\lim_{\epsilon\to 0^+} \int \frac{ {\rm d}^4k}{(2\pi)^4} \frac{ {\rm e}^{ -{\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)} }{ k^2 - m^2 + {\rm i}\epsilon } \end{aligned}$$

可以证明，费曼传播子也可以直接由Wightman函数，例如$W^{(+)}(x,y)$按照不同的时序构造出来：

$$\begin{aligned} \Pi_F(x,y) =& -\frac12 \overline W(x,y) - \frac12 {\rm sgn}(x^0-y^0) \widetilde W(x,y)\\ =& -\Theta(x^0-y^0) W^{(+)}(x,y) + \Theta(-(x^0-y^0)) W^{(-)}(x,y)\\ =& \left\{ \begin{aligned} -W^{(+)}(x,y)\ ,&\qquad x^0>y^0\\ W^{(-)}(x,y)\ ,&\qquad x^0<y^0 \end{aligned} \right.\\ =& \left\{ \begin{aligned} -W^{(+)}(x,y) = W^{(-)}(y,x)\ ,&\qquad x^0>y^0\\ -W^{(+)}(y,x) = W^{(-)}(x,y)\ ,&\qquad y^0>x^0 \end{aligned} \right. \end{aligned}$$

可以看出，费曼传播子将正频成分顺时传播，而将负频成分逆时传播；而负频的逆时传播，又相当于一个与之相反的正频沿着时空中的相反路径顺时传播，反之亦然。在它所描述的场论中，源和汇同时存在。

注：这在量子化后具有非常重要的意义，即粒子既可以被场的激发所产生，也可被场的抑制所吸收；进一步地，由于被被激发产生（离开源）的是正频成分，而抑制吸收（进入汇）的是负频成分，量子场论还将两者分别用于描述粒子的产生和湮灭。此外，量子场论也认为，粒子在时空中的运动，等价于其反粒子沿着相反的时空路径（包括时间方向也相反）运动。

上面的讨论给出了标量场费曼的传播子：

$$\widetilde\Delta_F(k) = \frac{\rm i}{k^2 - m^2 + {\rm i}\epsilon}$$

类似地，旋量场费曼传播子：

$$\widetilde S_F(k) = \frac{ {\rm i}(\cancel k + m)}{k^2 - m^2 + {\rm i}\epsilon}$$

有质量矢量场费曼传播子：

$${\widetilde D^{\rm P}_F}_{\mu\nu}(k) = \frac{ {\rm i} }{k^2 - m^2 + {\rm i}\epsilon}\left[ -g_{\mu\nu} + \dfrac{k_\mu k_\nu}{m^2}\right]$$

零质量矢量场费曼传播子：

$${\widetilde D^{\rm M}_F}_{\mu\nu}(k) = \frac{ -{\rm i}g_{\mu\nu} }{k^2 + {\rm i}\epsilon}$$

到目前为止，费曼传播子是一个令人满意的物理传播子候选人：它解决了本节开头提出的极点、因果性等等问题，并且是一个洛伦兹不变量。当然，其是否有效还需要物理计算来检验，好消息是经过量子场论的发展已经证明了，费曼传播子的确是物理上最常用、最有效的传播子形式。而在数学上更严格地证明这一点就又需要【Schwartz，P253-254，14.1.1 Historical note】

初论因果性

还剩下最后一个问题没有讨论：因果性问题，即分别在类时和类空的情况下讨论费曼传播子的行为。

既然费曼传播子可以直接由$W^{(+)}(x,y)$按照不同的时序来构造，那么就要考虑$W^{(+)}(x,y)$的性质：

$$W^{(+)}(x,y) = -{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k}} {\rm e}^{- {\rm i}k_\mu (x^\mu-y^\mu)}$$

首先考虑$x$、$y$两点只有时间间隔的情况，即$x^0-y^0 = t$，${\bf x} = {\bf y}$（对于类时的两点，总存在一个参考系使其为这种情况）。得到：

$$\begin{aligned} W^{(+)}(x,y) =& -\frac{4\pi{\rm i} }{(2\pi)^3} \int_0^\infty {\rm d}k_r \frac{k_r^2}{2\sqrt{k_r^2+m^2} } {\rm e}^{- {\rm i} \sqrt{k_r^2+m^2} t}\\ =& -\frac{\rm i}{4\pi^2} \int_m^\infty {\rm d}E \sqrt{E^2-m^2} {\rm e}^{-{\rm i}Et}\\ \stackrel{t \to \infty}{\sim}& -{\rm i}{\rm e}^{-{\rm i}mt} \end{aligned}$$

另一方面，两点类空的情况：即$x^0 = y^0$，${\bf x} = {\bf y} = {\rm r}$，此时：

$$\begin{aligned} W^{(+)}(x,y) =& -{\rm i} \int \frac{ {\rm d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\bf k} } {\rm e}^{ {\rm i} {\bf k} \cdot {\bf r} }\\ =& -\frac{2\pi{\rm i} }{(2\pi)^3} \int_0^\infty {\rm d}k_r \frac{k_r^2}{2 \omega_{\bf k} } \frac{ {\rm e}^{ {\rm i} k_r r} - {\rm e}^{- {\rm i} k_r r} }{ {\rm i}k_r r}\\ =& -\frac{1}{2(2\pi)^2r} \int_{-\infty}^\infty {\rm d}k_r \frac{ k_r{\rm e}^{ {\rm i} k_r r} }{ \sqrt{k_r^2+m^2}} \end{aligned}$$

对这一积分同样采用解析延拓到复平面进行积分的方法。在复平面上，这一积分的被积函数在虚轴上有从$k_r = \pm{\rm i}m$两个极点出发分别向上下两个方向无穷延伸的割线；因此原本沿着实轴的无限长积分路径，可以变为包围着上割线的一条路径：从虚轴左侧正无穷远处向下靠近极点$k_r = + {\rm i}m$，绕过极点再从虚轴右侧向上直到正无穷远处。令$\rho = -{\rm i}k_r$，得到

$$\begin{aligned} W^{(+)}(x,y) =& -\frac{\rm i}{4\pi^2r} \int_m^\infty {\rm d}\rho \frac{ \rho{\rm e}^{ -\rho r} }{ \sqrt{\rho^2-m^2}}\\ \stackrel{r \to \infty}{\sim}& -{\rm i}{\rm e}^{-mr} \end{aligned}$$

可见，对于类时的两点，$W^{(+)}(x,y)$类似于平面波稳定传播；对于类空的两点，它不严格为零，而只能按照指数衰减。也就是说，它在光锥之外仍有贡献。

但是【Peskin P14-15, P23-24, P28-29】时空结构

这意味着费曼传播子在光锥之外也具有非零贡献——似乎违反了因果性。果真如此吗？事实上，这一性质意味着我们对于传播子的物理诠释还有待审视。在量子场论的框架下，成功地解决了这一问题。

以正则量子化为例，它可以将Wightman函数与场算符的对易子联系起来，而传播子（以及更多点的关联函数）就是场算符的乘积。

附录：微分方程的求解、格林恒等式

解空间的结构

自由场的求解通常是比较简单的，但加入非齐次项$J$后则不然。想要求解存在源的场方程，从数学的角度来讲，就是要求解一个非齐次的线性微分方程。

自由场方程在数学上是一个齐次线性微分方程，可以表示为

$$\textbf D_n f(x) = \sum_n c_n D^n f(x) = 0 \ ,\qquad c_n\in\mathbb R$$

其中各阶$D^n = \dfrac{ {\rm d}^n}{ {\rm d}x^n}$都是线性的求导算符，$D^0=\mathbb 1$是恒等算符。注意到$\textbf D_n= \sum_n c_n D^n$本身也是一个线性算符，要求该方程的解空间$V_{\rm hom}$，可以转化为找$\textbf D_n$的属于零本征值的本征矢。

若能够找到$D^n$的本征矢，例如不妨考虑简单的情形，假设它的本征方程是$D^n {\rm e}^{\lambda x} = \lambda^n {\rm e}^{\lambda x}$，则显然该函数也是$\textbf D_n$的本征矢：

$$\textbf D_n {\rm e}^{\lambda x} = \sum_n c_n D^n {\rm e}^{\lambda x} = \sum_n c_n \lambda^n$$

于是满足原齐次微分方程的解，就是令$\sum_n c_n \lambda^n = 0$的解，求解齐次线性微分方程的问题转化为解该齐次线性代数方程的问题，此即原方程的本征值方程。当然实际问题的本征矢形式未必是简单的指数函数。

若该本征值方程得到的解为$\{\lambda_i\}$，$i=1,\cdots,a$，即对每个$i$都有

$$\textbf D_n{\rm e}^{\lambda_i x} = \sum_n c_n D^n {\rm e}^{\lambda_i x} = \sum_n c_n \lambda_i^n {\rm e}^{\lambda_i x} = 0\times{\rm e}^{\lambda_i x} = 0$$

即得到了$\textbf D_n$的本征方程；它们的线性组合也是$\textbf D_n$的本征方程，因此就找到了原齐次线性微分方程$\textbf D_n f = 0$的通解为：

$$f(x) = \sum_i p_i {\rm e}^{\lambda_i x} \ ,\qquad p_i\in\mathbb R$$

换句话说解空间$V_{\rm hom}$就是以这些${\rm e}^{\lambda_i x}$为基矢张成的线性空间：

$$V_{\rm hom} = {\rm span}({\rm e}^{\lambda_i x})$$

它同时也是算符$\textbf D_n$的核空间：$V_{\rm hom} = \ker \textbf D_n$。

现在考虑加入源的方程，即相应的非齐次线性微分方程的求解。$\textbf D_n f = 0$对应的非齐次方程为

$$\textbf D_n f(x) = \sum_n c_n D^n f(x) = a(x) \ ,\qquad c_n\in\mathbb R$$

显然对$\forall v(x) \in V_{\rm hom}$，$w(x)=v(x)+a(x)$都是满足$\textbf D_n w = a$的解；因此非齐次线性微分方程的解空间实际就是$V_{\rm hom}$通过一个仿射变换得到的仿射空间$V_{\rm Aff} = \{v+a|v\in V_{\rm hom}\}$。