Gattringer & Lang - Cp1: 格点上的路径积分
希尔伯特空间与欧氏关联函数
希尔伯特空间
一个希尔伯特空间
物理上感兴趣的希尔伯特空间存在完备可数基,任意矢量可由该组可数个基矢量的复线性组合展开;进一步,常要求是正交基。
一个算符
并且属于不同本征值的本征矢(即满足上述方程的
单位算符可按完备正交基展开:
注意到算符的迹是基变换下的不变量,且算符可在其本征矢构成的正交基下对角化,因此算符的迹也可在任一组完备正交基下表示为:
对于无限维希尔伯特空间,可能用到不可数基,此时上述求和改为积分。
粒子物理记号
粒子物理中态空间(希尔伯特空间)中的态矢可以是多粒子态,因为存在粒子产生和湮灭,此时总的态空间是 0 粒子,1 粒子,2 粒子…… 态空间的直和,即福柯空间(Fock space)。该空间中的粒子态,可以由每个粒子的量子数和它们分别的位置(或动量等参数)决定并标记。零粒子态即真空态,记为
重要的一类算符,即场算符,用于产生和湮灭粒子;很多时候,场算符的伴随算符对应于其反粒子,例如若
欧氏关联函数
海森堡绘景(算符随时间演化)下,
考虑 Wick 转动到虚时间欧氏空间传播子
因子
计算配分函数和 trace 时可取
这里指标不仅表示能级,而且表示所有量子数。于是
类似的,计算关联函数时按 trace 定义并插入完备性关系得
在分子分母上同时除以因子
这样它仅与相对真空态能量
该关联函数在
表现为对每一能级能量指数的求和。例如,取
对足够大的
量子力学体系的路径积分
考虑势场 U 中作一维(
自由粒子情形下
有势场情形下,非对易项产生复杂问题。考虑将势场对称分割,在无限小时间内,展开的领头阶:
因此可将有限时间
但实际计算机能计算的步数是有限的,即如下有限步长的近似配分函数
对于任一组积分变量,可以在格点时间排序下构成连续轨迹
所以近似配分函数实际是对所有可能的(格点)路径进行如下积分
标量场的路径积分
克莱因 - 高登场
考虑连续场论,实标量场(闵氏)作用量
考虑一类简单的拉格朗日密度
分为动能项、质量项和势能项。不同的势能项代表不同的(定域)自相互作用,无该项就是自由场。
欧拉 - 拉格朗日方程
给出场运动方程
K-G 场是自由标量场,上式中无势能项就是 K-G 方程。拉格朗日框架天然是四维协变的。
为了实现正则量子化,需要从拉格朗日密度得到哈密顿密度。正则动量:
勒让德变换得到哈密顿:
哈密顿框架天然是 3+1 维的。
采取正则量子化后,场量替换为场算符
场算符满足等时正则对易关系
此时的场量具有无穷多自由度。
K-G 场的格点正规化
众所周知,简单的量子场论存在紫外发散等问题,正规化手续是必要的。在连续微扰理论中可以采取维数正规化,泡利 - 维拉斯正规化、动量截断等正规化方法。在格点场论中则与之不同。
考虑在三维有限格点上建立场论,其时空格点
格点常数 a 具有长度量纲。场算符只定义在这些格点上,共有
对哈密顿算符的格点正规化需要处理空间导数
则格点哈密顿算符
这里的场仅具有有限自由度。正则对易关系
正则动量此时是:
这样 K-G 场哈密顿算符就是
动能项
其他项
现在考虑场算符
类似地,正则动量场算符也具有本征态:平面波
一个
自由场的欧氏时间演化算符
为了计算欧氏关联函数和配分函数,都需要计算时间演化算符
这意味着
用 Trotter 公式处理相互作用项:无穷小欧氏时间演化
仍然考虑无穷小时间,定义
根据 Trotter 公式
考虑到
则
配分函数的路径积分表示
在场算符本征态构成的一组完备正交基
其有限时间步长近似
这里,
方便起见考虑换一个记号,
这样欧氏作用量
包含算符的路径积分
时间步数
相比于
前述两个例子在此时,对应的泛函分别是
将关联函数中两个
路径积分的量化
欧氏作用量的不同离散化方案
从前文已经离散化的欧氏作用量表达式中可以看出,对于时间导数和空间导数的处理方法不一样,时间导数采取前向差分,来自于按时间节点逐个传播并用 trotter 公式的结果,而空间导数用中心差分,来自于泰勒展式。相较而言中心差分误差更小:
因此实际计算中有事也对时间离散化采用中心差分方法。
此外,也经常取相同的时间和空间步长
在上述两种取法下:
其中
路径积分量化方案
新的形式与之前来自于第一性原理的导出不同,代表了新的量化方案。之前的量化表达式,来自于对场算符和正则动量的正则对易关系,因而是正则量子化;新的形式直接来自于路径积分框架,因而是路径积分量子化。这种方法的步骤是:
1、连续时空换成四维欧氏格点,四个方向格点常数均为 a ;在每个格点上定义场变量的一个自由度
2、把系统欧氏作用量
3、关联函数中出现的算符,在计算时表现为场构型的泛函,可以直接通过将场算符替换为经典场变量来实现;
4、欧氏关联函数,就是在特定的格点场构型下,将这些泛函按照玻尔兹曼因子
具体在进行离散化时,存在误差不同的各种方案;Osterwalder–Schrader 重建保证了,只要这些不同的离散化方案满足特定的一些条件,就可以从离散欧氏关联函数重建出希尔伯特空间和闵氏的关联函数,并提取出所关心的物理可观测量。
当然,计算出格点上的物理可观测量后,人们会更关心它们的连续极限。简单地将
另一方面,实际计算时系统的连续极限不是简单的数学极限,例如耦合达到临界时,物理尺度在格点上会越来越显著,这需要结合统计等其他手段进行分析。
与统计力学的关系
事实上格点上的场论,与统计力学之间存在某种结构上的等价关系。一个典型的统计系统可以考虑在三维格点上以经典自旋
配分函数
可观测量的期望
这些结构上的等价性允许我们应用发源于统计力学的解析和数值方法研究格点场论。