Gattringer & Lang - Cp6: 强子谱

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在格点上可以计算的有关费米子最简单的物理量就是强子质量；这涉及到很多相关量子数，包括自旋，宇称，味等等，因此存在大量可能的强子。计算强子质量是对QCD理论的验证，也对于其他理论有重要意义。

强子插子与关联函数

在典型的QCD计算中，一般是根据分布来生成规范场构型，再来计算不同的可观测量，脑壳简单的plaquette期望值或Wilson圈期望值等等。

在这里关心的是强子质量谱的计算，一般要首先计算夸克传播子，再将它们适当地组合成强子传播子，最后再对所有的规范构型做平均。

第一步要定义强子插子$O$，$\overline O$，它们与希尔伯特空间中的算符$\hat O$、$\hat O^\dagger$相对应，来湮灭和产生所感兴趣的态。强子插子是这些态的量子数的泛函。对于强子谱学，插子由夸克和胶子的规范不变的色单态构成。它们包括：

1、局域的介子算符，如$O_M(n) = \overline\psi(n)\Gamma \psi(n)$由夸克和反夸克构成；或重子算符，由三个夸克构成。

2、广义插子，例如介子的$\overline\psi(n) U_\mu(n) \psi(n)$或重子的对应。

3、纯规范场插子，例如plaquette，Wilson圈，或更长的胶子相关的算符。

4、其他的奇异色单态，例如四夸克态$\overline\psi\overline\psi\psi\psi$和五夸克态$\overline\psi\psi\psi\psi\psi$。

5、由$3n$个夸克组成的态，即原子核，例如氘核就是一种由6个价夸克（三上三下）构成的质子-中子态。

对这些插子传播子的谱分解会出现物理可观测的态

$$\langle O(n_t)\overline O(0) \rangle = \sum_k \langle 0|\hat O|k \rangle \langle k| \hat O^\dagger |0 \rangle {\rm e}^{-n_t a E_k} = A{\rm e}^{-n_t a E_H} \big(1+\mathcal O({\rm e}^{-n_t a \Delta E})\big)$$

其中$E_H$是满足$\langle 0|\hat O|H \rangle$最低的态$|H\rangle$的能量，而$\Delta E$是其与第一激发态的能量差。根据领头阶的指数衰减可以算出$E_H$。

介子

在对强子态的分类以及构造强子插子时，离散对称性很重要，以$\pi$介子插子的构造为例。考虑只有2-3个味的QCD，即只包括上、下、奇异夸克。

$\pi$介子由$u$、$d$夸克及其反粒子构成，其中$u$具有同位旋$I=1/2$，$I_z=+1/2$，电荷$Q=2/3e$；$d$具有同位旋$I=1/2$，$I_z=-1/2$，电荷$Q=-1/3e$。它们的赝标量组合可以根据同位旋分类，包括三重态（$I=1$）的$\pi^-$、$\pi^0$、$\pi^+$，以及单态（$I=0$）的$\eta$介子。

带电粒子$\pi^+$、$\pi^-$质量$140\ \rm MeV$，自旋$J=0$，负宇称$P=-1$，同位旋$I=1$，$I_z=\pm1$，电荷$Q+\pm e$。因此为获得正确的电荷和同位旋，$\pi^+$必须由$\overline d-u$构成，而$\pi^-$是$\overline u-d$，同时都需要是色单态。因此插子应当写成

$$\begin{aligned} O_{\pi^+}(n)=\overline d(n) \gamma_5 u(n) = \overline d(n)_{\substack{\alpha\\c}} (\gamma_5)_{\alpha\beta} u(n)_{\substack{\beta\\c}}\\ O_{\pi^+}(n)=\overline u(n) \gamma_5 d(n) = \overline u(n)_{\substack{\alpha\\c}} (\gamma_5)_{\alpha\beta} d(n)_{\substack{\beta\\c}} \end{aligned}$$

它们在宇称变换下

$$\begin{aligned} &O_{\pi^+}({\bf n},n_4)=\overline d({\bf n},n_4) \gamma_5 u({\bf n},n_4)\\ \stackrel{\mathcal P}{\longrightarrow}\ &\overline d(-{\bf n},n_4) \gamma_4\gamma_5\gamma_4 u(-{\bf n},n_4) = -\overline d(-{\bf n},n_4) \gamma_5 u(-{\bf n},n_4) = -O_{\pi^+}(-{\bf n},n_4) \end{aligned}$$

表明具有负宇称。电荷共轭则是

$$\begin{aligned} &O_{\pi^+}(n)=\overline d(n) \gamma_5 u(n)\\ \stackrel{\mathcal C}{\longrightarrow}\ &-d(n)^T C\gamma_5C^{-1} \overline u(n)^T = -d(n) \gamma_5^T \overline u(n) = \overline u(n) \gamma_5 d(n) = O_{\pi^-}(n) \end{aligned}$$

最后Grassmann数交换时改变了符号。可见$\pi^+$、$\pi^-$互为反粒子。

$\pi^0$具有同位旋$I=1$，$I_z=0$，其插子则是

$$O_{\pi^0}(n)=\frac{1}{\sqrt 2}\big[\overline u(n) \gamma_5 u(n) - \overline d(n) \gamma_5 d(n)\big]$$

此外，同位旋单态$\eta$，$I=0$

$$O_{\eta}(n)=\frac{1}{\sqrt 2}\big[\overline u(n) \gamma_5 u(n) + \overline d(n) \gamma_5 d(n)\big]$$

这两个粒子宇称都是负：$P=-1$，电荷共轭都是自己，即电荷共轭算符本征值为$C=+1$。

其他强子也是类似构造。在强子所包含的量子数中，同位旋和电荷决定了强子的夸克组成；而自旋和宇称则与狄拉克bilinear中的$\gamma$部分有关。一般介子都有$O_M(n) = \overline\psi^{(f_1)}(n)\Gamma \psi^{(f_2)}(n)$的形式。在$f_1=f_2$的特殊情况下，这种形式则会组合从而形成具有味对称性的结构，就如$\pi^0$和$\eta$那样。

一些常见强子的量子数如下表：

State	$J^{PC}$	$\Gamma$	Particles
Scalar	$0^{++}$	$\mathbb 1\ ,\ \gamma_4$
Pseudoscalar	$0^{-+}$	$\gamma_5\ ,\ \gamma_4\gamma_5$
Vector	$1^{—}$	$\gamma_i\ ,\ \gamma_4\gamma_i$
Axial vector	$1^{++}$	$\gamma_i\gamma_5$
Tensor	$1^{+-}$	$\gamma_i\gamma_j$

介子传播子

插子$O_M$对应于物理上希尔伯特空间中的介子算符$\hat O_M$；还需要找到对应于$\hat O_M^\dagger$的插子，

$$\Big(\overline\psi^{(f_1)}\Gamma \psi^{(f_2)}\Big)^\dagger = - \psi^{(f_2)\dagger} \Gamma^\dagger \overline\psi^{(f_1)\dagger} = - \psi^{(f_2)} \gamma_4\Gamma^\dagger\gamma_4 \overline\psi^{(f_1)} = \pm \overline\psi^{(f_2)}\Gamma \psi^{(f_1)}$$

第一步的负号来自于Grassmann树交换；第二步利用$\overline\psi=\psi^\dagger\gamma_4$；最后一步利用了$\gamma_4\Gamma\gamma_4=\pm\Gamma$。因此在至多差一个符号下，$\hat O_M^\dagger$的插子可由$\hat O_M$的插子子$O_M$作$\psi/\overline\psi$交换以及反序（使$\overline\psi$在左）得到，而符号对于质量谱计算的指数衰减无关。即对于介子来说：

$$O_M(n) = \overline\psi^{(f_1)}(n)\Gamma \psi^{(f_2)}(n) \qquad \overline O_M(m) = \overline\psi^{(f_2)}(m)\Gamma \psi^{(f_1)}(m)$$

要计算关联函数，就需要计算费米子部分$\langle\cdots\rangle_F$中的Grassmann数积分，这一步对同位旋三重态和同位旋单态具有重要差别。对于三重态形如$O_T=\overline d\Gamma u$，

$$\begin{aligned} \langle O_T(n)\overline O_T(m) \rangle_F &= \langle \overline d(n) \Gamma u(n) \overline u(m) \Gamma d(m) \rangle_F\\ &=\Gamma_{\alpha_1\beta_1}\Gamma_{\alpha_2\beta_2} \langle \overline d(n)_{\substack{\alpha_1\\c_1}} u(n)_{\substack{\beta_1\\c_1}} \overline u(m)_{\substack{\alpha_2\\c_2}} d(m)_{\substack{\beta_2\\c_2}} \rangle_F\\ &=-\Gamma_{\alpha_1\beta_1}\Gamma_{\alpha_2\beta_2} \langle u(n)_{\substack{\beta_1\\c_1}} \overline u(m)_{\substack{\alpha_2\\c_2}} \rangle_u \langle \overline d(m)_{\substack{\beta_2\\c_2}} d(n)_{\substack{\alpha_1\\c_1}} \rangle_d\\ &=-\Gamma_{\alpha_1\beta_1}\Gamma_{\alpha_2\beta_2} D_u^{-1}(n|m)_{\substack{\beta_1\ \alpha_1\\c_1\ c_2}} D_d^{-1}(m|n)_{\substack{\beta_2\ \alpha_2\\c_2\ c_1}}\\ &=-{\rm tr}\Big[\Gamma D_u^{-1}(n|m) \Gamma D_d^{-1}(m|n)\Big] \end{aligned}$$

其中将费米子期望值按味分离并分别使用Wick定理，这一步叫做费米子收缩。$u$和$d$两者的狄拉克算符$D_u$和$D_d$区别仅在于其质量参数的微小不同；在可以忽略的时候常取$D_u=D_d$，即精确同位旋对称性。然而即便在这种近似下，也只有同味夸克可以收缩。该式的结果可以理解为，$D_u^{-1}(n|m)$将一个$u$夸克从$m$传播到$n$，同时$D_d^{-1}(m|n)$将一个$d$夸克从$n$传播到$m$。这种贡献叫做connected piece。

另一方面，对于同位旋单态$O_S=(\overline u \Gamma u + \overline d \Gamma d)/\sqrt{2}$，

$$\begin{aligned} \langle O_S(n)\overline O_S(m) \rangle_F =& -\frac{1}{2}{\rm tr}\Big[\Gamma D_u^{-1}(n|m) \Gamma D_u^{-1}(m|n)\Big]\\ &+ \frac{1}{2}{\rm tr}\Big[\Gamma D_u^{-1}(n|n)\Big] \Big[\Gamma D_u^{-1}(m|m)\Big]\\ &+ \frac{1}{2}{\rm tr}\Big[\Gamma D_u^{-1}(n|n)\Big] \Big[\Gamma D_d^{-1}(m|m)\Big]\\ &+ u\longleftrightarrow d \end{aligned}$$

第一项就是与三重态情况相同的connected piece；后面的部分则是将$u$夸克传播回原点，这种叫做disconnected piece；数值计算时这些项需要更高算力，因此许多研究避免考虑产生这些disconnected项的介子，或直接丢弃掉这些项。

需要强调的是，尽管插子形式很相似，但是三重态中的零分量$O_{T,I_z=0}=(\overline u \Gamma u - \overline d \Gamma d)/\sqrt{2}$与单态的$O_S$因为中间负号的存在，相应的关联函数就是在$O_S$对应的关联函数中，第三项变为负号；这在精确同位旋对称性$D_u=D_d$下将disconnected piece抵消掉从而只剩connected piece，从而与三重态的其他分量保持一致。这种关联函数的一致性表明在很高近似程度下，三重态的零分量与其他分量的质量接近，实验看到$m_{\pi^\pm}=140\ {\rm MeV}$，$m_{\pi^0}=135\ {\rm MeV}$，其微小差别主要就是由$u$和$d$的微小质量差引起的，还有一定电弱作用的影响。

重子的插子与关联函数

重子包含三个价夸克。首先以核子为例构造其插子。质子$p$和中子$n$分别是一个同位旋二重态$I=1/2$的$I_z=+1/2$和$I_z=-1/2$分量，具有几乎相同的质量$m_p=938\ {\rm MeV}$、$m_n=940\ {\rm MeV}$，再次表明同位旋对称性的存在；质子$p$具有电荷$Q=e$而中子$n$具有零电荷。据此可以推断两者的价夸克组分分别为：$p:uud$，$n:ddu$。由于QCD与电荷无关，因此两者分别视为同一种重子——核子的两个同位旋态。只需要讨论$uud$的插子，而$ddu$可以对其作$u\longleftrightarrow d$替换得到。

核子$N$最简单的插子形式是：

$$O_N(n)=\epsilon^{abc} u(n)_a \Big(u(n)_b^T C\gamma_5 d(n)_c\Big)$$

指标$a,b,c$都是色指标，转置$T$作用在狄拉克旋量空间，将列矩阵变为行矩阵。

在括号中的部分称作diquark，$C$是电荷共轭矩阵。该diquark具有同位旋$I=0$和自旋$J=0$（当然一般的diquark并不要求同位旋为零），需要强调的是它只是一个便于讨论量子数的符号概念，而不具有实际的动力学意义。因此总的插子$O_N$的同位旋和自旋均与第三个夸克相同，即$I=1/2$，$I_z=+1/2$，$J=1/2$。

最后一个需要讨论的量子数是宇称，在宇称变换下

$$\begin{aligned} &O_{N}({\bf n},n_4)=\epsilon^{abc} u({\bf n},n_4)_a \Big(u({\bf n},n_4)_b^T C\gamma_5 d({\bf n},n_4)_c\Big)\\ \stackrel{\mathcal P}{\longrightarrow}\ &\epsilon^{abc} \gamma_4 u(-{\bf n},n_4)_a u(-{\bf n},n_4)_b^T \gamma_4^T C \gamma_5 \gamma_4 d(-{\bf n},n_4)_c\\ & = \epsilon^{abc} \gamma_4 u(-{\bf n},n_4)_a u(-{\bf n},n_4)_b^T C \gamma_5 d(-{\bf n},n_4)_c\\ & = \gamma_4 O_N(-{\bf n},n_4) \end{aligned}$$

对质子和中子都是正$P=+1$。其中使用了$\gamma_\mu^T C = - C \gamma_\mu$。但是会产生一个对旋量指标的非平凡变换$\gamma_4$。在研究如下组合时会将其考虑进来：

$$O_{N_\pm}(n)=\frac12\Big(O_N(n)+O_N^{\mathcal P}(n)\Big) = \epsilon^{abc} P_{\pm} u(n)_a \Big(u(n)_b^T C\gamma_5 d(n)_c\Big)$$

其中宇称投影算符为$P_\pm = (\mathbb 1 \pm \gamma_4)/2$。在之后投影到零动量时，该组合具有确定的宇称$P=\pm 1$。

类似于介子，该组合的对应的产生算符插子是

$$\overline O_{N_\pm}(n) = \epsilon^{abc} \Big(\overline u(n)_a^T C\gamma_5 \overline d(n)_b\Big) \overline u(n)_c P_{\pm}$$

更一般的重子可以通过构造更复杂的diquark

$$O_{B_\pm} = \epsilon^{abc} P_{\pm} \Gamma ^A \psi^{(f_1)}_a \Big(\psi^{(f_2)}_b \Gamma^B \psi^{(f_3)}_c\Big) \qquad \overline O_{B_\pm} = \epsilon^{abc} \Big(\overline \psi^{(f_2)}_a \Gamma^B \overline \psi^{(f_3)}_b\Big) \overline \psi^{(f_1)}_c \Gamma ^A P_{\pm}$$

或其加减组合来得到。当然，每个重子的插子整体都还保留一个狄拉克指标——因为它们用于描述狄拉克费米子。通常这一指标用于求和构造如下关联函数

$$\langle O_{B_\pm}(n)_\alpha \overline O_{B_{\pm}}(m)^\alpha \rangle$$

重子的费米子收缩为（注意宇称投影算符幂等$P_\pm^2=P_\pm$）：

$$\begin{aligned} &\langle O_{N_\pm}(n)_\alpha \overline O_{N_{\pm}}(m)^\alpha \rangle_F = -\langle \overline O_{N_\pm}(m)_\alpha O_{N_{\pm}}(n)^\alpha \rangle_F\\ =&-\Big\langle\epsilon^{abc}\epsilon^{a'b'c'}\Big(\overline u(m)_a C\gamma_5 \overline d(m)_b^T\Big)\overline u(m)_c P_\pm u(n)_{c'}\Big(u(n)_{a'}^T C\gamma_5 d(n)_{b'}\Big)\Big\rangle_F\\ =&\epsilon^{abc}\epsilon^{a'b'c'} (C\gamma_5)_{\alpha'\beta'}(C\gamma_5)_{\alpha\beta} (P_\pm)_{\gamma\gamma'} D_d^{-1}(n|m)_{\substack{\beta'\ \beta\\b'\ b}}\times\\ &\times\Big(D_u^{-1}(n|m)_{\substack{\alpha'\ \alpha\\a'\ a}} D_u^{-1}(n|m)_{\substack{\gamma'\ \gamma\\c'\ c}} - D_u^{-1}(n|m)_{\substack{\alpha'\ \gamma\\a'\ c}}D_u^{-1}(n|m)_{\substack{\gamma'\ \alpha\\c'\ a}}\Big) \end{aligned}$$

这表明对于重子，只有connected piece部分。

动量投影

最后，我们希望插子描述具有特定3-动量${\bf p}$的强子态，因此定义

$$\widetilde O({\bf p},n_t) = \frac{1}{\sqrt{|\Lambda_3|}} \sum_{ {\bf n}\in\Lambda_3} {\rm e}^{-{\rm i}a{\bf n} {\bf p}}$$

是对空间格点遍历求和，3-动量${\bf p}$的分量为

$$p_i=\frac{2\pi k_i}{aN}\ ,\qquad k_i=-\frac{N}{2}+1,\cdots,\frac{N}{2}$$

因此这样形式的插子就被投影到确定的3-动量上，并且具有确定时间$n_t$。可见动量投影等于对空间格点遍历求和，因此前面讨论介子和重子的宇称变换对空间格点产生的符号都被抹平了。

由于不同动量态相互正交，通常只需将关联函数中的一个插子投影到确定的动量上即可，一般是在汇处的$O({\bf n},n_t)$。对于源处的$\overline O({\bf 0},0)$，可以仍然保留在实空间原点处。

因此，最终的欧氏强子关联函数可以写为

$$\begin{aligned} \langle \widetilde O({\bf p},n_t)\overline O({\bf 0},0) \rangle &= \frac{1}{\sqrt{|\Lambda_3|}} \sum_{ {\bf n}\in\Lambda_3} {\rm e}^{-{\rm i}a{\bf n}{\bf p}} \langle O({\bf n},n_t)\overline O({\bf 0},0) \rangle\\ &= A{\rm e}^{-an_tE({\bf p})}\big(1+\mathcal O({\rm e}^{-an_t\Delta E})\big) \end{aligned}$$

其中能量通过相对论性能-动关系与质量相联系

$$E({\bf p}) = \sqrt{m_H^2 + {\bf p}^2}\big(1+\mathcal O(ap)\big)$$

当零动量时，$E({\bf 0})=m_H$

通过非零动量的强子传播子可以确定格点上的能-动色散关系。由于渐进态描述自由粒子，这种色散关系就是格点自由粒子的能-动关系，这可以通过自由玻色子/费米子的动量空间格点传播子确定。对于最简单的最近邻离散化方案，可以在$({\rm i}E({\bf p}),{\bf p})$处发现极点并得到

$$\cosh(a E({\bf p})) = \cosh(a m_H) + \sum_{k=1}^3 (1-\cos(ap_k))$$

在$a\to0$就得到前述的能-动关系。

最终的强子关联函数公式

要获得与实验相比较的结果，需要得到场算符乘积的关联函数，例如设$A$为多个场算符的乘积，则

$$\langle A \rangle = \langle\langle A \rangle_F\rangle_G = \frac{1}{Z}\int\mathcal D[U] {\rm e}^{-S_G[U]} \mathcal D[\psi,\overline\psi] {\rm e}^{-S_F[\psi,\overline\psi,U]} A[\psi,\overline\psi,U]$$

确定起见，讨论有两种味夸克构成的介子的传播子。如前所述，在对Grassmann数积分后，得到对纯玻色子的规范场的积分

$$\begin{aligned} \langle O_T(n)\overline O_T(m) \rangle &= -\frac{1}{Z}\int\mathcal D[U] {\rm e}^{-S_G[U]} \det[D_u]\det[D_d]\ {\rm tr}\Big[\Gamma D_u^{-1}(n|m) \Gamma D_d^{-1}(m|n)\Big]\\ Z&=\frac{1}{Z}\int\mathcal D[U] {\rm e}^{-S_G[U]} \det[D_u]\det[D_d] \end{aligned}$$

其中费米子行列式依赖于规范场$U$，难点在于计算$\det[D]$。这个矩阵具有$12|\Lambda|$个行和列，因此其计算非常复杂。

淬火近似

计算策略

抽取强子质量

计算好夸克传播子后，就可以组合成强子关联函数，从中可以抽取对应的强子质量。具体来说，

$$\langle O(n_t)\overline O(0) \rangle = \sum_k \langle 0|\hat O|k \rangle \langle k| \hat O^\dagger |0 \rangle {\rm e}^{-n_t a E_k} = A{\rm e}^{-n_t a E_H} \big(1+\mathcal O({\rm e}^{-n_t a \Delta E})\big)$$

其中能量$E$、质量$m$、动量$p$都与参数$a$同时出现（总是相乘的形式），因此方便起见可以略去$a$，等价于下文的能量、质量、动量都采用了所谓格点单位。

有效质量曲线

一般来说关联函数中的算符$\hat O$并不产生哈密顿量的本征态，而是来自若干本征态的贡献，关联函数就是这些态的求和谱。若将汇处的算符投影至零动量（即对时间切片上的全体格点求和），有

$$C(n_t) = \langle O({\bf 0},n_t)\overline O({\bf 0},0) \rangle = \sum_k \langle 0|\hat O|k \rangle \langle k| \hat O^\dagger |0 \rangle {\rm e}^{-n_t E_k}$$

若算符与单粒子中间态耦合，那么这些粒子质量就是求和中的最低能量值，即$E_k=m_k$；若算符与两个或更多粒子中间态耦合，则$E_k$与这些粒子的质量和相对动量有关。

由于具有指数衰减的形式，因此较高能量态的相对贡献与$n_t$有关，对于大$n_t$，只有最低阶味主要贡献；较小的$n_t$则存在较高阶的干扰，总贡献是多个指数之和

$$C(n_t) = A_0 {\rm e}^{-n_t E_0} + A_1 {\rm e}^{-n_t E_1} +\dots$$

确定强子质量的结果