连续QCD作用量

夸克和胶子场

作为重费米子，夸克由狄拉克4-旋量描述，夸克场及反夸克场的符号分别是：

$\psi^{(f)}(x)_{\substack{\alpha\\c}}\ ,\qquad \overline \psi^{(f)}(x)_{\substack{\alpha\\c}}$

上标$f=1,2,3,4,5,6$表示夸克的味自由度flavor，下标$\alpha=1,2,3,4$表示狄拉克旋量的指标，下标$c=1,2,3$表示夸克的色自由度，$x$表示四维时空坐标。在某些不涉及重味夸克的情形下$f$指标可以不全取遍6种味，仅到此时的最重味指标$N_f$。

反夸克场与夸克场由狄拉克共轭相联系：$\overline\psi=\psi^\dagger\gamma_0$。

另一方面，胶子场是规范矢量场：

$A_\mu(x)_{cd}$

下标$\mu$表示4-矢量指标，$x$表示四维时空坐标。在欧氏情况下不再区分协变或逆变，并且$\mu=1,2,3,4$。胶子也携带色荷：$c,d=1,2,3$；对给定的$\mu_0$和$x_0$，$A_{\mu_0}(x_0)_{cd}$是无迹、厄米的$3\times 3$矩阵。

在这里对色指标、旋量指标、4-时空指标都使用爱因斯坦求和约定。

一般可将完整的QCD作用量分离为费米子部分（描述夸克场及其与胶子场的耦合）以及胶子部分（仅描述胶子的传播子和自相互作用）。

QCD作用量的费米子部分

费米子部分作用量$S_F[\psi,\overline\psi,A]$是关于夸克/反夸克场的双线性泛函：

$\begin{aligned} S_F[\psi,\overline\psi,A] &=\sum_{f=1}^{N_f}\int{\rm d}^4x\overline\psi^{(f)}(x)\Big[\gamma^\mu(\partial_\mu+{\rm i}A_\mu(x))+m^{(f)}\Big]\psi^{(f)}(x)\\ &=\sum_{f=1}^{N_f}\int{\rm d}^4x\overline\psi^{(f)}(x)_{\substack{\alpha\\c}}\Big[(\gamma^\mu)^{\alpha\beta}(\delta^{cd}\partial_\mu+{\rm i}A_\mu(x)^{cd})+m^{(f)}\delta^{\alpha\beta}\delta^{cd}\Big]\psi^{(f)}(x)_{\substack{\beta\\d}} \end{aligned}$

从中可以看出：

1）不同味夸克与胶子耦合方式完全相同，仅区别在于它们的质量；

2）耦合计算要遍历所有色自由度和狄拉克旋量指标；

3）胶子场可以耦合相同或不同色荷的夸克，它每个矢量分量耦合的区别在于欧氏$\gamma$矩阵分量不同；$\gamma_\mu$的每个分量都是狄拉克旋量空间中的非平凡$4\times 4$矩阵，因此以不同方式混合了夸克场的不同旋量分量；并且在欧氏下，满足欧氏反对易关系

$\{\gamma_\mu,\gamma_\nu\} = 2\delta_{\mu\nu}\mathbb 1$

4）与之类似，偏导数项（动能项）由于欧氏$\gamma_\mu$的存在，也以相同的方式混合夸克场的不同旋量分量，但是这一项不混合不同的色荷；

5）质量项则既不混合色荷也不混合旋量分量，因为在色空间和狄拉克旋量空间中都是平凡的。
下面省略夸克味指标。

费米子作用量的规范不变性

形式上看，除了附加的色指标，QCD费米子作用量与QED十分相似；而我们知道QED中，自由费米子天然具有全局$U(1)$对称性，而通过对$U(1)$对称性局域化的要求自然引入了规范场——电磁场；QCD也可类比推广。下面说明胶子场就是将某种对称性局域化所必需引入的规范场。

自由费米子的作用量

$S^0_F[\psi,\overline\psi] = \int{\rm d}^4x\ \overline\psi(x)(\gamma^\mu\partial_\mu+m)\psi(x)$

直观来看，带色荷的自由费米子天然具有全局的色空间旋转对称性，即若引入色空间的复$3\times 3$幺正矩阵$\Omega$，$\Omega^\dagger=\Omega^{-1}$，且满足$\det[\Omega]=1$，那么在如下色空间变换下：

$\psi\to\psi'=\Omega\psi\ ,\qquad \overline\psi\to\overline\psi'=\overline\psi\Omega^\dagger$

作用量显然是不变的。这样的全体矩阵$\Omega$组成李群$SU(3)$，因而这种对称性也叫全局$SU(3)$对称性；它是非交换群，因此这种场论叫做非阿贝尔场论。

若要要求这种对称性局域化，即在不同的时空点引入独立的$\Omega(x)$，且

$\psi(x)\to\psi'(x)=\Omega(x)\psi(x)\ ,\qquad \overline\psi(x)\to\overline\psi'(x)=\overline\psi(x)\Omega^\dagger(x)$

为了保证总作用量不变，必须引入满足如下变换的规范场：

$A_\mu(x)\to A_\mu'(x) = \Omega(x)A_\mu(x)\Omega^\dagger(x)+{\rm i}\big[\partial_\mu \Omega(x)\big]\Omega^\dagger(x)$

来抵消偏导数算符引起的差异。因此在引入规范场$A_\mu(x)$后，费米子和胶子体系满足$SU(3)$规范对称性。

胶子作用量

胶子作用量仅是胶子场$A_\mu(x)_{cd}$的泛函，并且应当满足规范不变性，即$S_G[A’]=S_G[A]$。可以仿照QED，为此需要定义协变导数

$D_\mu(x) = \partial_\mu+{\rm i}A_\mu(x)$

显然有规范变换性质

$D_{\mu}(x)\to D_{\mu}'(x)=\partial_\mu+{\rm i}A_\mu'(x) = \Omega(x)D_{\mu}(x)\Omega^\dagger(x)$

这保证了$D_\mu(x)\psi(x)$与$\psi(x)$有相同的变换方式。

定义场强张量为两个协变导数算符的对易子：

$F_{\mu\nu}(x) = -{\rm i}[D_\mu(x),D_\nu(x)] = \partial_\mu A_\nu(x)-\partial_\nu A_\mu(x)+{\rm i}[A_\mu(x), A_\nu(x)]$

与电动力学中的场强张量相比，它多出的一项是胶子场对易子，因为胶子场的色空间自由度使其非对易。依此定义，其自然继承了协变导数的规范变换性质：

$F_{\mu\nu}(x)\to F_{\mu\nu}'(x)=\Omega(x)F_{\mu\nu}(x)\Omega^\dagger(x)$

作为规范作用量的候选，可以考虑如下式子（重复指标求和）

$S_G[A] = \frac{1}{2g^2}\int{\rm d}^4x\ {\rm tr}[F_{\mu\nu}(x)F^{\mu\nu}(x)]$

其中对色指标求迹是为了保证它的规范不变性。通过重定义场量$A_\mu(x)\to g A_\mu(x)$可以将前面引入的耦合常数（表征夸克与胶子耦合强度）吸收掉，此时协变导数为$D_\mu(x) = \partial_\mu +{\rm i}g A_\mu(x)$；但是在格点计算上，保留耦合常数作为全局因子更方便。

规范场的色分量

目前可以看到QCD与QED一大重要区别在于，电磁场是实值场，而胶子场$A_\mu(x)_{cd}$是矩阵值场，且是色空间中的无迹、厄米矩阵，规范变换保留这些性质，因此其满足李代数$\mathfrak{su}(3)$：

$A_\mu(x)=A_\mu^{i}(x)T_i$

其中$A_\mu^{i}(x)$是实值场，称为“色分量”，$i=1,\dots,8$；$T_i$是无迹厄米$3\times 3$矩阵的基（$SU(3)$的生成元），满足$\big[T_j,T_k\big] = {\rm i}f_{jkl}T_l$。这样就将矩阵值场分解为若干分量的实值场，并且据此可以取消求迹运算从而更接近QED的形式。

据此分解式，场强张量也可分解为8个色分量

$\begin{aligned} F_{\mu\nu}(x)&=\Big[\partial_\mu A_\nu^{i}(x)-\partial_\nu A_\mu^{i}(x)\Big]T_i + {\rm i}\sum_{j,k=1}^8 A_\mu^{j}(x) A_\nu^{k}(x) \big[T_j,T_k\big]\\ &=\bigg[\partial_\mu A_\nu^{i}(x)-\partial_\nu A_\mu^{i}(x)-f_{ijk}A_\mu^{j}(x) A_\nu^{k}(x)\bigg]T_i\\ &= F_{\mu\nu}^{i}(x)T_i \end{aligned}$

由此，作用量可以取消掉求迹运算

$S_G[A] = \frac{1}{4g^2}\int{\rm d}^4x\ F_{\mu\nu,i}(x)F^{\mu\nu,i}(x)$

可见胶子的规范作用量是对色分量（指标$i$）的求和，每一项形式上都与QED形式相同。但由于胶子场不可对易，导致每个场强色分量$F_{\mu\nu}^{i}$都比QED多出一项$f_{ijk}A_\mu^{j}(x) A_\nu^{k}(x)$，即对同指标的规范场$A_\mu^{i}(x)$非线性，而是存在混合了其他色的二次项；这导致QCD作用量不像QED只存在规范场的二次项，而是存在三次、四次色混合项。

这些项分别对应胶子的“自相互作用”，具体来说，三胶子和四胶子相互作用。这是QCD与QED的又一重要区别，也大大增加了理论计算复杂度。胶子自相互作用是QCD色禁闭的结果。

费米子作用量的简单离散化

自由费米子的离散化

按照第一章引入4维格点$\Lambda$，夸克旋量场定义在每个格点上

$\psi(n)\ ,\ \overline\psi(n)\ ,\ n\in\Lambda$

每个场自由度都携带色，狄拉克和味指标。

在连续情形下，自由费米子的作用量

$S^0_F[\psi,\overline\psi] = \int{\rm d}^4x\ \overline\psi(x)(\gamma^\mu\partial_\mu+m)\psi(x)$

离散化时，偏导数取为

$\partial_\mu\psi(x)\to\frac{1}{2a}\big[\psi(n+\hat\mu)-\psi(n-\hat\mu)\big]$

因此离散自由费米子作用量就是

$S^0_F[\psi,\overline\psi] = a^4\sum_{n\in\Lambda}\overline\psi(n)\left[\sum_{\mu=1}^4\gamma_\mu\frac{\psi(n+\hat\mu)-\psi(n-\hat\mu)}{2a}+m\psi(n)\right]$

链接变量作为规范场引入

前面的讨论表明，为了满足作用量在局域的夸克色空间旋转下的不变性，必须引入规范场$A_\mu(x)$。在每个格点上同样要求满足$SU(3)$规范对称性：

$\psi(n)\to\psi'(n)=\Omega(n)\psi(n)\ ,\qquad \overline\psi(n)\to\overline\psi'(n)=\overline\psi(n)\Omega^\dagger(n)$

但是

$\overline\psi(n)\psi(n+\hat\mu) \to \overline\psi'(n)\psi'(n+\hat\mu)=\overline\psi(n)\Omega^\dagger(n)\Omega(n+\hat\mu)\psi(n+\hat\mu)$

不是规范不变量，因此上一节末的自由费米子作用量$S^0_F[\psi,\overline\psi]$也不是规范不变量；若引入新的具有方向指标$\mu$的场满足

$U_\mu(n)\to U_\mu'(n) = \Omega(n) U_\mu(n) \Omega^\dagger(n+\hat\mu)$

则

$\overline\psi(n) U_\mu(n) \psi(n+\hat\mu) \to \overline\psi'(n) U_\mu'(n) \psi'(n+\hat\mu)$

是规范不变量。因此，为使在格点上的费米子作用量规范不变，引入如上变换的$U_\mu(n)$场，它们具有方向且链接相邻的格点，因此称为链接变量。虽然形式上将其置于$n$点，但一个链接变量$U_\mu(n)$实际关联于两个格点：$n$和$n+\hat\mu$；不难理解其逆应为：

$U_{-\mu}(n+\hat\mu) = U_\mu^\dagger(n)\ ,\quad U_{-\mu}(n) = U_\mu^\dagger(n-\hat\mu)$

相应的变换律为

$U_{-\mu}(n)\to U_{-\mu}'(n) = \Omega(n) U_{-\mu}(n) \Omega^\dagger(n-\hat\mu)$

为什么它属于SU3群？

在这里链接变量起到规范场的作用；不像连续情况的规范场$A_\mu(x)$是李代数$\mathfrak{su}(3)$元素，这里的$U_\mu(n)$是李群$SU(3)$元素。

利用该规范场可以写出规范不变的作用量形式：

$S_F[\psi,\overline\psi,U] = a^4\sum_{n\in\Lambda}\overline\psi(n)\left[\sum_{\mu=1}^4\gamma_\mu\frac{U_\mu(n) \psi(n+\hat\mu)-U_{-\mu}(n) \psi(n-\hat\mu)}{2a}+m\psi(n)\right]$

称为费米子在外部规范场$U$中的简单费米子作用量。

链接变量与连续规范场的关系

回顾$U_\mu(n)$的变换律：

$U_\mu(n)\to U_\mu'(n) = \Omega(n) U_\mu(n) \Omega^\dagger(n+\hat\mu)$

在连续情形也有具有类似性质的量

$G(x,y) = P\exp\left({\rm i}\int_{\mathcal C_{xy}}A_\mu\cdot{\rm d}s^\mu\right)$

这是以规范场$A_\mu$在连接两点$x,y$的某一曲线路径$\mathcal C_{xy}$上的路径积分为幂次的指数，即所谓规范转运子（gauge transporter），或者Wilson线（Wilson line）；在某规范变换下其变换为

$G(x,y)\to \Omega(x) G(x,y) \Omega^\dagger(y)$

根据这种相似性，一个理想的关系是$U_\mu(n)=G(n,n+\hat\mu)+\mathcal O(a^2)$。为此可以引入格点上的代数值规范场$A_\mu(n)$，其属于李代数$\mathfrak{su}(3)$，而令

$U_\mu(n) = \exp\left[{\rm i}a A_\mu(n)\right]$

这里将规范转运子指数上的积分取了近似为格距$a$乘以起点上的规范场值$A_\mu(n)$，对近似度$O(a^2)$足够好并且无需考虑路径顺序；于是链变量就可解释为链接相邻格点的规范转运子，根据李群及其李代数的关系，就不难理解为什么连续的规范场属于李代数$\mathfrak{su}(3)$，而链变量属于李群$SU(3)$了。

为获得连续极限$a\to 0$下的结果，将之在小$a$展开（第二式利用了$A_\mu=A_\mu^\dagger$）

$U_\mu(n) = \mathbb 1 + {\rm i}a A_\mu(n) + \mathcal O(a^2)$ $U_{-\mu}(n) = \mathbb 1 - {\rm i}a A_\mu(n-\hat\mu) + \mathcal O(a^2)$

在该近似下，

$S_F[\psi,\overline\psi,U] = S_F^0[\psi,\overline\psi] + S_F^I[\psi,\overline\psi,A]$ $S^0_F[\psi,\overline\psi] = a^4\sum_{n\in\Lambda}\overline\psi(n)\left[\sum_{\mu=1}^4\gamma_\mu\frac{\psi(n+\hat\mu)-\psi(n-\hat\mu)}{2a}+m\psi(n)\right]$ $\begin{aligned} S^I_F[\psi,\overline\psi,A] &= {\rm i}a^4\sum_{n\in\Lambda}\overline\psi(n)\gamma^\mu\frac{A_\mu(n) \psi(n+\hat\mu) + A_\mu(n-\hat\mu) \psi(n-\hat\mu)}{2}\\ &= {\rm i}a^4\sum_{n\in\Lambda}\overline\psi(n)\gamma^\mu A_\mu(n)\psi(n) + \mathcal O(a) \end{aligned}$

最后一步利用了$\psi(n\pm\hat\mu)=\psi(n)+\mathcal O(a)$和$A_\mu(n-\hat\mu)=A_\mu(n)+\mathcal O(a)$；显然在连续极限$a\to 0$下$S_F[\psi,\overline\psi,U]$可以回到连续作用量。
最后需要强调的是，李群值链变量$U_\mu(n)$不仅仅是为了将李代数值规范场$A_\mu(n)$引入格点的辅助构造；相反它被视为在路径积分中的基本变量。这个从李代数值场到李群值场的转变具有重要后果，例如规范固定等。

Wilson规范作用量

现在考虑以链变量为基本变量的格点规范场作用量。

用链变量构造规范不变量

考虑在一条连接起止点$n_0$、$n_1$的路径$\mathcal P$上的$k$个相连链变量串乘积

$P[U] = U_{\mu_0}(n_0)U_{\mu_1}(n_0+\hat\mu_0)\cdots U_{\mu_{k-1}}(n_1-\hat\mu_{k-1}) = \prod_{(n,\mu)\in\mathcal P}U_\mu(n)$

此对应于路径$\mathcal P$上的连续规范转运子。注意$\mathcal P$上可能有两个方向$\pm\mu$。其变换与单个链变量类似：

$P[U]\to P[U'] = \Omega(n_0)P[U]\Omega^\dagger(n_1)$

因此它直接与起止点的两个夸克场耦合就是规范不变量：

$\overline\psi(n_0)P[U]\psi(n_1)$

另一种规范不变量是取链变量构成闭合回路即所谓Wilson圈（Wilson loop）$\mathcal L$并取其迹

$L[U] = {\rm tr}\left[\prod_{(n,\mu)\in\mathcal L}U_\mu(n)\right]$

其变换产生的在点$n_0$处的两个变换矩阵取迹后消失

$L[U]\to L[U'] = {\rm tr}\left[\Omega(n_0)\prod_{(n,\mu)\in\mathcal L}U_\mu(n) \Omega^\dagger(n_0)\right] = {\rm tr}\left[\prod_{(n,\mu)\in\mathcal L}U_\mu(n)\right] = L[U]$

规范作用量

构造胶子作用量用到最简单的Wilson loop就是小方格，称为plaquette变量：

$U_{\mu\nu}(n) = U_\mu(n) U_\nu(n+\hat\mu) U_{-\mu}(n+\hat\mu+\hat\nu) U_{-\nu}(n+\hat\nu) = U_\mu(n) U_\nu(n+\hat\mu) U_\mu^\dagger(n+\hat\nu) U_\nu^\dagger(n)$

对格点上全体独立的小方格遍历求和（每个小方格只计数一个方向）就得到Wilson plaquette作用量

$S_G[U] = \frac{2}{g^2}\sum_{n\in\Lambda}\sum_{1\le\mu<\nu\le4}{\rm Re}\ {\rm tr}\big[\mathbb 1-U_{\mu\nu}(n)\big]$

每项的贡献是单位矩阵减去plaquette变量后取迹的实部。

如此构造的目的是让其在连续极限下回到连续作用量。具体来说，利用Baker-Campbell-Hausdorff公式

$\exp(A)\exp(B) = \exp\left(A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\cdots\right)$

可以将每个plaquette展开为

$\begin{aligned} U_{\mu\nu}(n) = \exp\bigg(& + {\rm i}a A_\mu(n) + {\rm i}a A_\nu(n+\hat\mu) - \frac{a^2}{2}[A_\mu(n),A_\nu(n+\hat\mu)]\\ & - {\rm i}a A_\mu(n+\hat\nu) - {\rm i}a A_\nu(n) - \frac{a^2}{2}[A_\mu(n+\hat\nu),A_\nu(n)]\\ & + \frac{a^2}{2}[A_\nu(n+\hat\mu),A_\mu(n+\hat\nu)] + \frac{a^2}{2}[A_\mu(n),A_\nu(n)]\\ & + \frac{a^2}{2}[A_\mu(n),A_\mu(n+\hat\nu)] + \frac{a^2}{2}[A_\nu(n+\hat\mu),A_\nu(n)]\\ & + \mathcal O(a^3)\bigg) \end{aligned}$

对于不在点$n$上的规范场进行泰勒展开

$A_\nu(n+\hat\mu) = A_\nu(n) + a\partial_\mu A_\nu(n) + \mathcal O(a^2)$

于是

$\begin{aligned} U_{\mu\nu}(n) &= \exp\Big[{\rm i}a^2\big(\partial_\mu A_\nu(n) - \partial_\nu A_\mu(n) + {\rm i}[A_\mu(n),A_\nu(n)]\big) + \mathcal O(a^3)\Big]\\ & = \exp\big[{\rm i}a^2 F_{\mu\nu}(n)+\mathcal O(a^3)\big] \end{aligned}$

当取实部后，最低阶只有$a^4$项，此时Wilson规范作用量就是

$S_G[U] = \frac{a^4}{g^2}\sum_{n\in\Lambda}\sum_{1\le\mu<\nu\le 4}{\rm tr}\big[(F_{\mu\nu}(n))^2 + \mathcal O(a^2)\big] = \frac{a^4}{2g^2}\sum_{n\in\Lambda}\sum_{\mu,\nu=1,2,3,4}{\rm tr}\big[(F_{\mu\nu}(n))^2\big] + \mathcal O(a^6)$

就说明Wilson plaquette作用量在连续极限下的会回到连续规范场作用量。

QCD格点路径积分的形式表达

按照第一章结论，QCD欧氏关联函数的路径积分形式为

$\langle O_2(t) O_1(0) \rangle = \frac{1}{Z}\int\mathcal D[\psi,\overline\psi] \mathcal D[U] {\rm e}^{-S_F[\psi,\overline\psi,U] - S_G[U]} O_2[\psi,\overline\psi,U] O_1[\psi,\overline\psi,U]$

配分函数

$Z = \int\mathcal D[\psi,\overline\psi] \mathcal D[U] {\rm e}^{-S_F[\psi,\overline\psi,U] - S_G[U]}$

路径积分要对所有可能的场构型积分；在格点上对应的测度，就是所有夸克场（关于所有指标）测度的乘积，以及所有链变量测度的乘积

$\mathcal D[\psi,\overline\psi] = \prod_{n\in\Lambda} \prod_{f,\alpha,c} {\rm d}\psi^{(f)}(n)_{\substack{\alpha\\c}}\ {\rm d}\overline \psi^{(f)}(n)_{\substack{\alpha\\c}}$ $\mathcal D[U] = \prod_{n\in\Lambda} \prod_{\mu=1}^4 {\rm d}U_{\mu}(n)$

当然这里需要考虑其他约束条件，例如对于夸克场需要考虑泡利原理，费米子的反交换统计（用Grassmann数来实现）等；对单个链变量测度${\rm d}U_{\mu}(n)$，也要考虑其属于$SU(3)$群元素的性质，即所谓Haar测度。

此即目前对QCD放在格点上的处理方法，夸克场置于格点而规范场至于其间的链接。需要注意这只是很粗糙的构造，尤其是费米子部分格点作用量仍需在后续进一步添加其他项。