幺正算符

一般性质

定义

若一个算符$U$的逆算符$U^{-1}$等于它的伴随算符$U^\dagger$，那么称$U$为幺正算符：

$U^\dagger U = U U^\dagger = \mathbb I$

考虑两个任意态矢$\ket{\psi_1}$、$\ket{\psi_2}$，在u奥正上方$U$作用下变为：

$\ket*{\widetilde \psi_1} = U\ket{\psi_1}\\ \ket*{\widetilde \psi_2} = U\ket{\psi_2}$

那么一个显然的结果是，幺正算符$U$引起的幺正变换保持内积不变：

$\braket*{\widetilde\psi_1}{\widetilde\psi_2} = \bra{\psi_1}U^\dagger U \ket{\psi_2} = \braket{\psi_1}{\psi_2}$

这是幺正算符的基本性质。

性质

厄米算符的虚指数函数是幺正算符。考虑厄米算符$A^\dagger = A$，则其虚指数函数给出一个算符：
$T = {\rm e}^{ {\rm i}A}\\ T^\dagger = {\rm e}^{-{\rm i}A^\dagger} = {\rm e}^{-{\rm i}A}$
从而得到
$TT^\dagger = T^\dagger T = \mathbb I$
可见算符$T = {\rm e}^{ {\rm i}A}$是幺正算符。这是一条重要性质。
幺正算符乘积也是幺正算符。这容易证明，设两幺正算符$U$、$V$，那么
$(UV)^\dagger (UV) = V^\dagger U^\dagger U V = V^\dagger V = \mathbb I$
这个结果是可以预料的：两个保持内积不变的算符相继作用，仍然是保持内积不变的。
在实矢量空间中，常常用到保持矢量模长和内积不变的算符，称为正交算符，例如旋转、反射等操作对应的算符。而从定义可以知道，幺正算符是定义在复矢量空间上的，事实上幺正算符就是正交算符在复矢量空间上的推广。

幺正变换下的基变换

考虑态空间的一组基$\{\ket{v_i}\}$，其中态矢在幺正算符$U$作用下变换为：

$\ket*{\widetilde v_i} = U \ket{v_i}$

显然变换后的矢量集合$\{\ket{\widetilde v_i}\}$仍然是正交归一的（由于幺正算符保持内积）：

$\braket{\widetilde v_i}{\widetilde v_j} = \braket{v_i}{v_j} = \delta_{ij}$

为说明它们也构成一组基，考虑将任一态矢$\ket{\psi}$的幺正变换$U^\dagger\ket{\psi}$按照基$\{\ket{v_i}\}$展开：

$U\ket{\psi} = \sum_i c_i \ket{v_i}$

两边作用算符$U$，于是

$\ket{\psi} = U U^\dagger \ket{\psi} = \sum_i c_i U\ket{v_i} = \sum_i c_i \ket*{\widetilde v_i}$

这就给出了任一态矢$\ket{\psi}$按照$\{\ket{\widetilde v_i}\}$展开的表达式，基新的集合$\{\ket{\widetilde v_i}\}$也构成一组基；将一组基变换为另一组基，这也是幺正算符的一个必要条件。

反之，这也是充分的。考虑一个任意算符$V$作用于$\{\ket{v_i}\}$中的基矢：$\ket*{\widetilde v_i} = V \ket{v_i}$，若$\{\ket{\widetilde v_i}\}$构成一组基：

$\braket{\widetilde v_i}{\widetilde v_j} = \delta_{ij} \qquad \sum_i \ket*{\widetilde v_i}\bra*{\widetilde v_i} = \mathbb I$

又注意到$\bra{\widetilde v_i} = \bra{v_i}V^\dagger$，那么

$V^\dagger V \ket{v_i} = V^\dagger \ket*{\widetilde v_i} = \sum_j \ket{v_j}\bra{v_j} V^\dagger \ket*{\widetilde v_i} = \sum_j \ket{v_j}\bra*{\widetilde v_j} \ket*{\widetilde v_i} = \sum_j\ket{v_j}\delta_{ij} = \ket{v_i}$

因此$V^\dagger V =\mathbb I$；类似地：

$V V^\dagger \ket{v_i} = V\sum_j \ket{v_j}\bra{v_j} V^\dagger \ket{v_i} = \sum_j V\ket{v_j}\bra{\widetilde v_j} \ket{v_i} = \sum_j \ket*{\widetilde v_j}\bra*{\widetilde v_j} \ket{v_i} = \ket{v_i}$

可得$V V^\dagger = \mathbb I$，因此$V$是幺正算符。

上面说明了，可以将一组正交归一基变换为另一组正交归一基，是算符称为幺正算符地充分必要条件。

幺正矩阵

考虑幺正算符$U$的矩阵元

$U_{ij} = \bra{v_i} U \ket{v_j}$

那么矩阵$[U_{ij}]$称为幺正矩阵，它具有一个重要性质：

考虑插入封闭性关系：

$\bra{v_i} U^\dagger U \ket{v_j} = \sum_k \bra{v_i}U^\dagger \ket{v_k} \bra{v_k}U\ket{v_j} = \sum_k U_{jk}^* U_{ki} = \delta_{ij}$

即幺正矩阵的一列元素与另一列元素的共轭复数的对应乘积之和：

等于零，若这两列不是同一列；
等于一，若这两列是同一列。

幺正算符的本征问题

假设$\ket{\psi_u}$是幺正算符$U$的属于本征值$u$的本征矢：

$U\ket{\psi_u} = u\ket{\psi_u}$

那么可以得到为：

$\braket{\psi_u} = \bra{\psi_u}U^\dagger U\ket{\psi_u} = u^*u\braket{\psi_u}$

可见幺正算符的本征值必定满足$u^*u = 1$，即

$u = {\rm e}^{ {\rm i}\theta_u}$

其中相角$\theta_u$为实数。因此幺正算符本征值必为模长为1的复数。

算符幺正变换

当幺正算符将一组基$\{\ket{v_i}\}$变换到另一组基$\{\ket{\widetilde v_i}\}$时，算符在其上的矩阵表示也会随之变化。考虑定义幺正算符$U$对算符$A$的变换为：

$\bra*{\widetilde v_i} \widetilde A \ket*{\widetilde v_j} = \bra{v_i} A \ket{v_j}$

即幺正变换前后算符在对应基矢的矩阵元不变。利用幺正算符定义，显然：

$A = U^\dagger \widetilde A U \Longleftrightarrow \widetilde A = U A U^\dagger$

这就是幺正算符对算符变换的定义。

同时，变换后算符$\widetilde A$的伴随算符：

$(\widetilde A)^\dagger = (UAU^\dagger)^\dagger = UA^\dagger U^\dagger = \widetilde {(A^\dagger)}$

即原算符的伴随算符$A^\dagger$的幺正变换。据此知，若算符$A$是厄米算符，那么变换后$\widetilde A$也是厄米的算符。

若算符$A$具有本征方程：$A\ket{a} = a\ket{a}$，那么其幺正变换后的算符$\widetilde A$呢？考虑$\ket*{\widetilde a}$，有：

$\widetilde A \ket*{\widetilde a} = (UAU^\dagger) U \ket{a} = U(A\ket{a}) = a U\ket{a} = a\ket*{\widetilde a}$

可见若$\ket{a}$是算符$A$的属于本征值$a$的本征矢，那么$\ket{\widetilde a} = U\ket{a}$是算符$\widetilde A=UAU^\dagger$的属于同一本征值$a$的本征矢。

无穷小幺正算符

考虑一个依赖于实值变量$\epsilon$的幺正算符$U(\epsilon)$，且约定当$\epsilon\to 0$时，$U\to\mathbb I$。于是可以在小$\epsilon$附近将算符$U(\epsilon)$展开：

$U(\epsilon) = \mathbb I + \epsilon G + \mathcal O(\epsilon^2)$

以及

$U^\dagger(\epsilon) = \mathbb I + \epsilon G^\dagger + \mathcal O(\epsilon^2)$

因此两式相乘可得：

$U^\dagger(\epsilon)U(\epsilon) = U(\epsilon)U^\dagger(\epsilon) = \mathbb I + \epsilon(G+G^\dagger) + \mathcal O(\epsilon^2)$

而由于算符$U(\epsilon)$是幺正的，则

$G = -G^\dagger$

可见算符$G$是一个反厄米算符。将其乘以一个虚数单位：

$F = {\rm i}G$

则可以将$U(\epsilon)$的展开式写为：

$U(\epsilon) = \mathbb I - {\rm i} \epsilon F + \mathcal O(\epsilon^2)$

其中：

$F = F^\dagger$

是幺正算符。当$\epsilon$是无穷小量时，就把

$U_\epsilon = \mathbb I - {\rm i} \epsilon F$

称为无穷小幺正算符。它的厄米共轭为：

$U^\dagger_\epsilon = \mathbb I + {\rm i} \epsilon F^\dagger = \mathbb I + {\rm i} \epsilon F$

考虑无穷下幺正变换对算符的变换：

$\widetilde A = (\mathbb I - {\rm i} \epsilon F) A (\mathbb I + {\rm i} \epsilon F) = A - {\rm i}\epsilon[F,A] + \mathcal O(\epsilon^2)$

因此算符的无穷小幺正变换正比于$F$和它的对易子（在$\epsilon$一阶程度）：

$\delta A = \widetilde A - A = -{\rm i}\epsilon [F,A]$

宇称算符

基本性质

定义

考虑一个物理体系，其态空间$\mathscr E$，其中宇称算符$\Pi$是按照其对坐标本征态的作用而定义：

$\Pi\ket{\boldsymbol r} = \ket{-\boldsymbol r}$

可知其在坐标表象的矩阵元：

$\bra{\boldsymbol r}\Pi\ket{\boldsymbol r'} = \braket{\boldsymbol r}{-\boldsymbol r'} = \delta(\boldsymbol r+\boldsymbol r')$

于是任意态矢可以展开为:

$\ket{\psi} = \int{\rm d}^3r\ \psi(\boldsymbol r)\ket{\boldsymbol r} = \int{\rm d}^3r'\ \psi(-\boldsymbol r')\ket{-\boldsymbol r'}$

可知其被宇称算符的作用结果为：

$\Pi\ket{\psi} = \int{\rm d}^3r'\ \psi(-\boldsymbol r')\ket{\boldsymbol r'}$

或者等价地写成：

$\bra{\boldsymbol r}\Pi\ket{\psi} = \psi(-\boldsymbol r) = \braket{-\boldsymbol r}{\psi}$

这也给出了宇称算符作用于$\bra{\boldsymbol r}$的结果：

$\bra{\boldsymbol r}\Pi = \bra{-\boldsymbol r}$

对坐标表象下波函数的作用，即将坐标关于原点做空间反射。

性质

宇称算符是自逆算符，或者说其平方是恒等算符：$\Pi^2 = \mathbb I$。注意到
$\Pi^2 \ket{\boldsymbol r} = \Pi\ket{-\boldsymbol r} = \ket{\boldsymbol r}$
而坐标本征态构成完备基，这表明$\Pi=\Pi^{-1}$，或$\Pi^2=\mathbb I$。进而：
$\Pi^n = \begin{cases} \Pi & n\ {\rm is\ even}\\ \mathbb I &n\ {\rm is\ odd} \end{cases}$
宇称算符是厄米算符。注意到其定义式的厄米共轭为：
$\bra{\boldsymbol r}\Pi^\dagger = \bra{-\boldsymbol r}$
而第一节最后给出的结果是：
$\bra{\boldsymbol r}\Pi = \bra{-\boldsymbol r}$
可见$\Pi^\dagger = \Pi$。
宇称算符是幺正算符。这从前两个性质可以直接得出：
$\Pi^{-1} = \Pi^{\dagger}$

本征子空间

考虑$\Pi$的属于本征值$\pi$的本征态$\ket{\phi_\pi}$，由于其自逆性：

$\Pi^2\ket{\phi_\pi} = \pi^2 \ket{\phi_\pi} = \ket{\phi_\pi}$

可见本征值$\pi = \pm 1$，显然都是简并的。将属于$\pi = +1$的本征态称为“偶宇称”，属于$\pi = -1$的本征态称为“奇宇称”。

考虑构造两个投影算符：

$P_\pm = \frac{\mathbb I \pm \Pi}{2}$

容易验证两者都是厄米算符，且

$P_+^2 = P_+\qquad P_-^2 = P_-$

因此这两个投影算符分别是$\mathscr E$的两个子空间$\mathscr E_\pm$上的投影算符。不难验证:

$P_+ P_- = \frac14(\mathbb I + \Pi - \Pi - \Pi^2) = 0\\ P_- P_+ = \frac14(\mathbb I - \Pi + \Pi - \Pi^2) = 0$

可知两子空间$\mathscr E_\pm$是正交的；又由于$P_+ + P_- = \mathbb I$可知两子空间是互补的。因此对于任意$\ket{\psi}\in\mathscr E$，总可以分成奇宇称的部分和偶宇称的部分之和：

$\ket{\psi} = P_+\ket{\psi} + P_-\ket{\psi} = \ket{\psi_+} + \ket{\psi_-}$

由于$\Pi P_+ = P_+$，$\Pi P_- = -P_-$，因此从两个投影算符得到的这两部分$\ket{\psi_\pm}$的确是分别具有确定偶/奇宇称的成分。

从而两子空间$\mathscr E_\pm$分别就是$\Pi$的属于$\pm1$的本征子空间。其中的态矢分别具有偶宇称和奇宇称，在坐标表象下分别称为偶函数和奇函数。

另外，由于$\mathscr E$中任一$\ket{\psi}$都可分为$\Pi$的两个本征态的线性组合，因此$\Pi$是观察算符，宇称是物理系统的一个可观测量。

偶算符与奇算符

定义

注意到算符$\Pi$是幺正算符，于是它可以引导其他算符的一种幺正变换：

$\widetilde B = \Pi^\dagger B \Pi = \Pi B \Pi$

$\widetilde B$称为$B$的宇称变换算符。两者在坐标表象下的矩阵元关系为：

$\bra{\boldsymbol r}\widetilde B \ket{\boldsymbol r'} = \bra{-\boldsymbol r}B\ket{-\boldsymbol r'}$

若宇称变换算符与原算符满足对易/反对易关系，则可以分类为：

$\begin{cases} \widetilde B = - B \Longleftrightarrow \{B,\Pi\} = 0 & B {\rm\ is\ an\ even\ operator}\\ \widetilde B = + B \Longleftrightarrow [B,\Pi] = 0 & B {\rm\ is\ an\ odd\ operator} \end{cases}$

选择定则

考虑偶算符$B_+$的矩阵元：

$\bra{\phi}B_+\ket{\psi} = \bra{\phi}\Pi B_+ \Pi\ket{\psi} = \bra{\phi'}B_+\ket{\psi'}$

其中$\ket{\psi’} = \Pi \ket{\psi}$，$\ket{\phi’} = \Pi\ket{\phi}$。若两个态分别是一个奇宇称，一个偶宇称，则

$\bra{\phi}B_+\ket{\psi} = -\bra{\phi}B_+\ket{\psi} = 0$

即偶算符在宇称相反的态之间矩阵元为零；只有在宇称相同的态之间才可能有非零矩阵元。

类似的结果对奇算符$B_-$也成立，即奇算符在宇称相同的态之间矩阵元为零；只有在宇称相反的态之间才可能有非零矩阵元。特别地，奇算符对角元$\bra{\psi}B_-\ket{\psi}$在$\ket{\psi}$具有确定宇称时为零。

可以证明，坐标算符$\boldsymbol R = (X,Y,Z)$是奇算符（即它的三个分量都是奇算符）；动量算符$\boldsymbol P = (P_x,P_y,P_z)$也是奇算符。

另一方面，宇称算符$\Pi$本身则是一个偶算符。

一般而言，$\Pi B_-^n \Pi = (-1)^n B_-^n$，即一个奇算符的偶次幂是偶算符，奇次幂是奇算符；若是面对算符函数的情况，则当函数$F(x)$是偶函数时，奇算符的函数$F(B_-)$是偶算符；当函数$F(x)$是奇函数时，奇算符的函数$F(B_-)$是奇算符；一般函数则没有确定宇称。

另一方面，偶算符的情况简单许多：$\Pi B_+^n \Pi = B_+^n$，即偶算符的任意次幂都是偶算符；偶算符的函数$F(B_+)$也是偶算符。

偶宇称观察算符$B_+$的本征态

考虑偶宇称算符$B_+$及其本征态$\ket{\varphi_b}$，属于本征值$b$。对于偶宇称观察算符，$B_+$与厄米算符$\Pi$对易，那么就可以得到：

若$b$是非简并本征值，那么$\ket{\varphi_b}$一定也是$\Pi$的本征态，因此要么是奇宇称态，要么是偶宇称态。从而一切奇宇称观察算符$B_-$在偶宇称观察算符的非简并本征态上的期望$\bra{\varphi_b} B_- \ket{\varphi_b} = 0$。
若$b$是简并本征值，其本征子空间为$\mathscr E_b$，那么$\mathscr E_b$中的态不一定都有确定宇称，即不一定都是$\Pi$本征态；但是$\mathscr E_b$中一定存在$\Pi$的本征态构成它的一个基，即$B_+$总是存在一组确定宇称的本征态可以构成态空间的基。

哈密顿算符的宇称

考虑哈密顿算符

$H = \frac{1}{2m}{\boldsymbol P}^2 + V(\boldsymbol R)$

其中$\boldsymbol P$是奇算符故$\boldsymbol P^2$是偶算符；因此若$V(\boldsymbol R)$是偶算符（即若势函数$V(\boldsymbol r)$是偶函数），那么$H$也是偶算符，这说明就可以找到$H$在偶宇称态或奇宇称态中的本征态，并且构成完备基；特别地，对于$H$的非简并本征值，其本征态一定具有确定宇称。很多模型的哈密顿量是偶算符，例如方势阱、谐振子、氢原子等等。

反过来说，若对于偶算符$H$，找到一个没有确定宇称的本征态$\ket{\varphi_h}$（即$\Pi\ket{\varphi_h}$与$\ket{\varphi_h}$不共线），那么可以说明该本征态在$H$的本征值$E_h$一定是简并的。