克莱布希-高登系数（C-G系数）

回顾本章正文给出的定义：

要完全确定这些C-G系数，仅靠该式是不够的。这是因为根据算符本征值$J(J+1)\hbar^2$和$M\hbar$，本身只能将$\ket{J,M}$确定到差一个相位的程度；因此要想完全确定C-G系数，还需要提出对相位的约定。我们将会提出一种约定，使得在此约定下，所有C-G系数都是实数。

C-G系数的一般性质

选择定则

之前已经提到过，根据角动量耦合理论，存在如下两个条件：

只有当这两个条件同时满足，C-G系数$\braket{j_1,j_2;m_1,m_2}{J,M}$才有非零值。上述第二个关于$J$的式子也称“三角形选择定则”，从三角形的几何角度来看，该式涉及的三个数具有对称性，即等价于：

除了上述两给条件，还必须满足角动量本身的性质，即

这样的关于$M$、$J$、$m_i$、$j_i$的几条关系式就构成了对C-G系数的选择定则，只有当它们全部满足，才会得到非零的C-G系数。

正交性

考虑旧基矢的封闭性关系：

将其插入新基矢的正交性关系：

就得到

若在后面选取的约定下将诸C-G系数取为实数，则得到关于C-G系数的一个正交性关系：

另一方面，也可以将新基矢的封闭性关系：

插入旧基矢的正交性关系（关于$m_1$和$m_2$的正交性）：

就得到另一个关于C-G系数的正交性关系：

递推关系

考虑到$\{\ket{j_1,j_2;m_1,m_2}\}$构成一个标准基，则两个角动量分别的升降算符作用为：

同样，$\{\ket{J,M}\}$也具有一样的性质：

考虑到$J_{\pm} = J_{1\pm} + J_{2\pm}$，那么将$J_\pm$作用于C-G系数的定义式，即得到：

左乘$\bra{j_1,j_2;m_1,m_2}$即得到

这就是C-G系数的递推关系。注意其中当某些量子数取某些值（如$M = \pm J$）的时候，等式中的某些C-G系数会为零，因为它们不满足本章开始提到的几条选择定则；但此时等式仍然成立。

Condon-Shortley相位约定

前述递推关系实际上确定了与同一个$J$相联系的各个C-G系数的各个右矢$\ket{J,M}$的相对相位关系；于是只需要选定$\ket{J,J}$的绝对相位，就能确定各个C-G系数的相位。

注意到当取$M=J$，则在C-G系数的递推关系中可以得到

只要$m_1$、$m_2$按照选择定则取值，则根式就 不会为零或无穷大；而在上式中若取$m_1=j_1$，则$m_2-1=M-m_1 = J-j_1$，即：

于是这表明：一旦$\braket{j_1,j_2;j_1,J-j_1}{J,J}=0$，那么$\braket{j_1,j_2;j_1-1,J-j_1+1}{J,J}=0$，逐步类推得到全部的$\braket{j_1,j_2;m_1,J-m_1}{J,J}=0$；这将导致$\ket{J,J}=0$，显然是不合理的。因此这可以反证，全部的$\braket{j_1,j_2;m_1,J-m_1}{J,J}$（其中$J-j_2\leq m_1 \leq j_1$）必然都不为零。

特别地，注意到这样的递推关系中，比例系数（即根式）始终为实数，因此只要约定：

即为正实数，那么全部的系数$\braket{j_1,j_2;m_1,J-m_1}{J,J}$都为实数，且分别具有符号$(-1)^{j_1-m_1}$。此即Condon-Shortley相位约定。

利用该约定，进一步可以确定$M=J-1,\ J-2,\ \cdots, -J$的全部C-G系数。由于递推关系的系数全为实数，因此可以知道在Condon-Shortley相位约定下，全部C-G系数都为实数：