对于由全同粒子所构成的系统，我们曾经在第14章做过初步的讨论，在那里所引入的记号中，仍然对粒子用数字编号来区分；但这些编号实际上并不具有实际的物理意义，尤其是当粒子数很多时，按照第十四章的法则来确定相应的对称/反对称物理右矢也会带来非常复杂的中间计算过程，尽管最终的结果通常非常简洁。

在本章将会引入的是与之等价，但物理意义更明显的方法：基于Fock空间中的产生和湮灭算符的方法。玻色子或费米子的不同置换性质由这些算符的对易和反对易关系保证，非物理的数字编号也被“占据数”的概念替代。

一般框架

考虑$N$粒子系统，其中$N$个单粒子态空间可以通过张量积构成一个大空间：

$\mathscr E_N = \mathscr E_1(2) \otimes\mathscr E_1(2) \otimes \cdots \otimes \mathscr E_1(N)$

但是第十四章已经说明，对于全同粒子体系，这个空间$\mathscr E_N$并不适合作为体系的物理态空间；真正重要的实际上是该空间的两个子空间：完全对称子空间$\mathscr E_S(N)$和完全反对称子空间$\mathscr E_A(N)$，具体物理态空间是哪一个取决于全同粒子本身的性质（玻色子或费米子）。

到这两个子空间上的投影算符分别是（$N$粒子体系的）对称化算符$S_N$和反对称化算符$A_N$：

$S_N = \frac{1}{N!}\sum_\alpha P_\alpha\ ,\qquad A_N = \frac{1}{N!}\sum_\alpha \varepsilon_\alpha P_\alpha$

Fock态和Fock空间

第十四章已经说明，从一个单粒子态的任一正交归一基$\{\ket{u_i}\}$出发，可以构造$\mathscr E_S(N)$或$\mathscr E_A(N)$的基矢：

$\ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots}$

它们由各个单粒子态$\ket{u_i}$上的全同粒子占据数$n_i$所标记，满足条件$\sum_k n_k = N$。当然，不是所有单粒子态都有非零占据，因此记号中通常只写那些非零的占据数：

$\ket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$

其中一般默认$i<j< \cdots < l < \cdots$。

全同玻色子的Fock态

对于全同玻色子，基矢$\ket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$一种可能的表示为：

$\begin{aligned} &\ket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}\\ =& c S_N \ket{u(1) = u_i;\dots;u(n_i) = u_i;u(n_i+1) = u_j;\dots;u(n_i+n_j) = u_j;\dots} \end{aligned}$

其中$c$是归一化因子，$S_N$是$N$粒子体系的对称化算符，其作用在$\mathscr E_N$中的一个占据数相符的归一化右矢；由于玻色子的对称化假定，上式中右侧的右矢中单粒子态的顺序是可以任意置换的。

为确定因子$c$的值，考虑到上式右侧是$N!$项之和，每项都是右矢被某个幺正的置换算符$P_\alpha$作用；假若这$N!$项都是正交的，那么在$\braket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$中，每项都只与自己内积，这样会产生$N!$对内积。

但事实上这$N!$项之间并非全部正交，例如交换处于相同单粒子态的子空间之间顺序的置换实际上不会改变右矢。真正会产生独立结果的，必须是那些至少实际改变一个子空间的单粒子态的置换算符。所以在$\braket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$中，实际上每项都会与$n_i!n_j!\cdots n_l!\cdots$个“自己”内积，最终一共是$N!n_i!n_j!\cdots n_l!\cdots$对内积。

我们已经取$\mathscr E_N$中的基矢是归一化的，因此为了保证$\ket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$仍然归一化，考虑进$S_N$定义中本身包含的因子$1/N!$，最终就要求$c$的值满足：

$c^2 \frac{1}{(N!)^2} N!n_i!n_j!\cdots n_l!\cdots = 1$

我们取正实值系数，即

$c = \sqrt{\frac{N!}{n_i!n_j!\cdots n_l!\cdots} }$

按照这样定义的对称化并归一化的、且满足$\sum_k n_k = N$的右矢，属于完全对称态空间$\mathscr E_S(N)$，并且全部这样的右矢构成它的一组基。在满足前述条件下，各个占据数可以取任意非负整数值。

我们称这样的$\ket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$为玻色子Fock态。

对于Fock态，也存在一些等价记法。例如，有时会把那些为零的占据数全部写出：

$\ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots}$

显然，此时$c$的表达式仍然成立（注意到$0! = 1$）。

还有时，会把每个单粒子态（包括重复的）一个个列出：

$\ket{u_i;u_i;\dots;u_j;u_j;\dots;\dots;u_l;u_l;\dots}$

这种写法在处理同时包括费米子和玻色子的体系时比较有用。

全同费米子的Fock态

对于全同费米子，情况略有不同，因为当算符$A_N$作用于$\mathscr E_N$中的右矢时，任何具有至少一个高于$1$的占据数的右矢得到的结果都是$0$，因此在费米子的情况下，$\mathscr E_A(N)$的基矢$\ket{n_i,n_j,\dots,n_l,\dots}$中，任何占据数$n_l$都只能取值$0$或$1$。

在具体定义费米子的Fock态之前，要注意费米子的情况与玻色子有明显区别：

对于玻色子，我们更关心体系在每个态上的占据数是多少；而对于费米子，我们更关心一个态是否被占据，因为费米子对态的占据数只能取值$0$或$1$。
玻色子Fock态中，我们不关心各个单粒子态排列顺序如何，因为Fock态是完全对称态；但是费米子Fock态理应是完全反对称态，因此各个单粒子态的排列顺序非常重要。

基于上述原因，我们更常用另一种不同的记号来表示费米子Fock态：

$\ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots}$

其中每个$u_k$都是出现且仅出现一次的单粒子态。它的一种可能的表示为：

$\begin{aligned} &\ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots}\\ =&\begin{cases} \sqrt{N!} A_N \ket{u(1) = u_i;u(2) = u_j;\dots;u(q) = u_l,\dots} & {\rm all\ the\ }u_i{\rm\ are\ different}\\ 0 & {\rm exists\ same\ }u_i \end{cases} \end{aligned}$

可见任何非零的$\ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots}$中，各个单粒子态出现且仅出现一次。其前面的归一化因子$\sqrt{N!}$已经明确写出；事实上这与玻色子的归一化因子是一致的，因为在全同费米子体系中，任何占据数只能是$0$或$1$，则$\sqrt{N!/n_i!n_j!\cdots n_l!\cdots} = \sqrt{N!}$。

并且这样定义的费米子Fock态，对于任意两个相邻单粒子态顺序的交换满足反对称性，例如：

$\ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots} = - \ket{u_j,u_i,\dots,u_l,\dots}$

但要注意这只是记号上的约定，两者仍表示相同的物理态。

Fock空间

到目前为止，我们为特定$N$值的$\mathscr E_S(N)$和$\mathscr E_A(N)$都构造了基矢：Fock态。现在考虑$N$值变化的情况，分别为玻色子和费米子定义Fock空间为：

$\mathscr E_S^{\rm Fock} = \bigoplus_{N = 0}^\infty \mathscr E_S(N) = \mathscr E_S(0) \oplus \mathscr E_S(1) \oplus \mathscr E_S(2) \oplus \cdots \oplus \mathscr E_S(N) \oplus \cdots$ $\mathscr E_A^{\rm Fock} = \bigoplus_{N = 0}^\infty \mathscr E_A(N) = \mathscr E_A(0) \oplus \mathscr E_A(1) \oplus \mathscr E_A(2) \oplus \cdots \oplus \mathscr E_A(N) \oplus \cdots$

特别地，$\mathscr E_S(0) = \mathscr E_A(0)$都是一维空间，它表示粒子数为零的物理态空间，其中的归一化右矢（在至多差一个相位意义下）是唯一的，它描述粒子数为零的物理态，称为真空态，记为$\ket{0}$。真空态本身也是一个Fock态，它对玻色子和费米子都是相同的。

由于Fock空间$\mathscr E_{S,A}^{\rm Fock}$是直和空间，它的基就可以用各个$\mathscr E_{S,A}(N)$的基矢集合直接并集构成：Fock空间$\mathscr E_{S,A}^{\rm Fock}$的基是由遍历所有粒子数$N$的Fock态所构成。因此Fock空间显然是无穷维空间。

Fock空间中的矢量包含两类：

仅仅是相同粒子数$N$的Fock态的线性组合：它们具有明确的粒子数$N$，属于$\mathscr E_{S,A}^{\rm Fock}$的子空间$\mathscr E_{S,A}(N)$，因此也表示$N$全同粒子体系的某个物理态。并且粒子数不同的态之间相互正交。
是不同粒子数的Fock态的线性组合：它们不具有明确的粒子数$N$，通常被视为计算的中间过程态。

要注意区分Fock空间中的任意矢量与Fock态。Fock态是那些在各个单粒子态上的占据数都确定的态；但Fock空间中的一个任意矢量不一定具有明确的占据数，而可能仅仅是Fock态的叠加态。

注意到Fock空间是直和空间，而不是各个单粒子态空间的直积。尽管如此，我们也可以将其表示为无穷个子空间的直积空间：
$\mathscr E^{\rm Fock} = \bigotimes_{k=1} \mathscr E_{u_k}^{\rm Fock} = \mathscr E_{u_1}^{\rm Fock} \otimes \mathscr E_{u_2}^{\rm Fock} \otimes \cdots \mathscr E_{u_k}^{\rm Fock} \otimes \cdots$
其中，$\mathscr E_{u_k}^{\rm Fock}$是仅存在一个单粒子态$\ket{u_i}$的Fock空间；也就是说，$\mathscr E_{u_k}^{\rm Fock}$是由$\ket{n_k}$张成的空间，其中在唯一态$\ket{u_i}$上的占据数$n_k$取遍所有非负整数值（从$0$到$\infty$）。

能够这样直积分解的原因是，Fock态总可以表示为张量积的形式：
$\ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} = \ket{n_1} \otimes \ket{n_2} \otimes \cdots \ket{n_k} \otimes \cdots$
一般把$\ket{n_k}$称为全同粒子体系的一个模式，它表示体系在特定某一个单粒子态上的占据情况。

产生算符$a^\dagger$

已经定义了Fock空间$\mathscr E_{S,A}^{\rm Fock}$并讨论了其中矢量的性质，现在定义作用在Fock空间上的算符。为此，只需要定义其对Fock空间的基矢——Fock态的作用即可。

注意到定义在矢量空间上的算符的作用总是将矢量映射到另一个矢量。若它将Fock态映射到非Fock态，我们认为这样的算符性质不够“好”，因为它损失了态矢的确定粒子数。若它总是将粒子数为$N$的Fock态映射到相同粒子数$N$的另一个Fock态，那么它实际上就相当于$\mathscr E_{S,A}(N)$内的算符，作用是改变某几个粒子的单粒子态；于是它本质上相当于$N$粒子置换算符，我们在前面已经讨论过了。

因此在Fock空间上，我们真正感兴趣并希望研究其性质的，是那些将一个粒子数为$N$的Fock态映射为另一个粒子数为$M \neq N$的Fock态的算符。

玻色子产生算符

首先考虑全同玻色子体系的情况。对于全同玻色子体系，我们引入算符$a_{u_k}^\dagger$：

$a_{u_k}^\dagger \ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} = \sqrt{n_k+1} \ket{n_1,n_2,\dots,n_k+1,\dots}$

在这种记号下，其中各个占据数，包括$n_k$都有可能是$0$或任意非负整数。系数取为$\sqrt{n_k+1}$是与玻色子Fock态归一化因子相关的，这样取的好处会在之后看到。现在分析算符$a_{u_k}^\dagger$的物理意义：其作用是在原本的$N$全同玻色子体系中，使单粒子态$\ket{u_k}$的占据数增加$1$，但不影响其他态的占据数。

也就是说，$a_{u_k}^\dagger$对玻色子Fock态的作用，相当于凭空在体系中产生了一个处于$\ket{u_k}$态的玻色子，我们称其为（$\ket{u_k}$态）玻色子产生算符。因此玻色子产生算符作用在$\mathscr E_S(N)$内的任何右矢，都会得到$\mathscr E_S(N+1)$中的右矢。特别地，它若作用于真空态$\ket{0}$，将得到单玻色子态$\ket{u_k}$。

进而，我们可以将若干玻色子产生算符连续作用于真空态：

$\ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} = \frac{1}{\sqrt{n_1!n_2!\cdots n_k!\cdots} } (a_{u_1}^\dagger)^{n_1} (a_{u_2}^\dagger)^{n_2} \cdots (a_{u_k}^\dagger)^{n_k} \cdots\ket{0}$

也就是说，任何玻色子的Fock态都可以通过一系列玻色子产生算符作用于真空态来得到。在上式中，算符作用的具体顺序其实是无关紧要的。

费米子产生算符

接下来考虑全同费米子体系的情况。定义（$\ket{u_k}$态）费米子产生算符为：

$a_{u_k}^\dagger \ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_k,u_i,u_j\dots,u_l,\dots}$

可见其作用是对原来的费米子Fock态中，在最左边增加一个对原本为空的单粒子态$\ket{u_k}$的新占据。于是费米子产生算符只有当作用在$\mathscr E_A(N)$内的、原本不占据$\ket{u_k}$的右矢，才会得到$\mathscr E_A(N+1)$中的相应右矢；否则就会得到$0$。特别地，它若作用于真空态$\ket{0}$，将得到单费米子态$\ket{u_k}$。

这里隐含了一个要求，在原来的费米子Fock态$\ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots}$中的任何位置都不能出现$\ket{u_k}$态，否则自动导致：

$a_{u_k}^\dagger \ket{u_i,u_j,\dots,u_k,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_k,u_i,u_j,\dots,u_k,\dots,u_l,\dots} = 0$

系数取为$1$也与费米子Fock态归一化因子相关；同时也与玻色子的取法是一致的，因为只有当$n_k = 0$时等式才不为零，此时$\sqrt{0+1} = 1$。

另有一点需要强调，尽管在定义中我们将新占据的$\ket{u_k}$放置在Fock态最左边，但总可以根据费米子Fock态的顺序交换规则将其移动到单粒子态序列的任何位置，只会在数学记号上产生至多一个负号，但不影响其所描述的物理态。

湮灭算符$a$

现在来研究产生算符$a^\dagger$的厄米共轭算符，$a = (a^\dagger)^\dagger$，它的性质可以直接从$a^\dagger$的性质得出。

玻色子湮灭算符

仍首先考虑全同玻色子体系。注意到$a_{u_k}^\dagger$的非零矩阵元只有：

$\bra{n_1,n_2,\dots,n_k+1,\dots} a_{u_k}^\dagger \ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} = \sqrt{n_k+1}$

那么立即就能得到$a_{u_k}$的非零矩阵元为：

$\bra{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} a_{u_k} \ket{n_1,n_2,\dots,n_k+1,\dots} = \sqrt{n_k+1}$

换句话说，$a_{u_k}$的作用是：

$a_{u_k} \ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} = \sqrt{n_k} \ket{n_1,n_2,\dots,n_k-1,\dots}$

特别地，我们规定其作用于真空态的结果是：

$a_{u_k} \ket{0} = 0$

也就是说，$a_{u_k}$对玻色子Fock态的作用，相当于在体系中减少了一个原本处于$\ket{u_k}$态的玻色子，我们称其为（$\ket{u_k}$态）玻色子湮灭算符。因此玻色子探秘算符作用在$\mathscr E_S(N)$（$N>0$）内的任何右矢，都会得到$\mathscr E_S(N-1)$中的右矢。特别地，它作用于真空态$\ket{0}$得到的结果是$0$。

费米子湮灭算符

与玻色子的讨论类似，我们也可以通过费米子产生算符来得到费米子湮灭算符的性质。具体来说：

若费米子Fock态占据$\ket{u_k}$态，那么

$a_{u_k} \ket{u_k,u_i,u_j,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots}$

若费米子Fock态不占据$\ket{u_k}$态，那么

$a_{u_k} \ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots} = 0$

也规定其作用于真空态的结果是：

$a_{u_k} \ket{0} = 0$

我们在这里仍将$a_{u_k}$对费米子Fock态的作用定义为在其最左边消去原本处于$\ket{u_k}$态的费米子；若该占据不在序列最左边排列，只需按规则换序即可，同样产生至多一个负号，但不影响其所描述的物理态。

我们称$a_{u_k}$为（$\ket{u_k}$态）费米子湮灭算符。于是费米子湮灭算符只有当作用在$\mathscr E_A(N)$内的、原本只占据$\ket{u_k}$一次的右矢，才会得到$\mathscr E_A(N-1)$中的相应右矢；否则就会得到$0$。特别地，它作用于真空态$\ket{0}$得到的结果也是$0$。

占据数算符/粒子数算符

考虑如下定义的算符：

$\hat n_{u_k} = a_{u_k}^\dagger a_{u_k}$

根据上一节的讨论，不难得出当它作用于Fock态时：

对于全同玻色子体系：

$\hat n_{u_k} \ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots} = n_k \ket{n_1,n_2,\dots,n_k,\dots}$

对于全同费米子体系：

$\hat n_{u_k} \ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots} = \begin{cases} \ket{u_i,u_j,\dots,u_l,\dots} & {\rm\ if\ }\ket{u_k}{\rm\ was\ occupied}\\ 0 & {\rm\ if\ }\ket{u_k}{\rm\ was\ empty} \end{cases}$

注：对于费米子情况，若Fock态中$\ket{u_k}$被占据但未排序在最左边，则先换序到最左边，被$a_{u_k}^\dagger a_{u_k}$作用后再换序回原位，不会改变整体符号。

可见无论哪种体系，诸Fock态都是算符$\hat n_{u_k} = a_{u_k}^\dagger a_{u_k}$的本征矢，而本征值则是相应$\ket{u_k}$态的占据数；换句话说，$\hat n_{u_k}$作用于Fock态不会改变它本身，仅仅是提取出它对$\ket{u_k}$态的占据数。因此称算符$\hat n_{u_k}$为（$\ket{u_k}$态）占据数算符。

利用$\hat n_{u_k}$还可以定义：

$\hat N = \sum_k \hat n_{u_k} = \sum_k a_{u_k}^\dagger a_{u_k}$

称为总占据数算符或粒子数算符，Fock态都是它的本征矢，本征值就是相应的粒子数。

对易关系/反对易关系

产生算符和湮灭算符之间存在非常简单的对易或反对易关系，这使得它们成为构造理论的重要工具。

在下面若不引起歧义，我们将把符号$a_{u_k}^\dagger$、$a_{u_k}$分别简记为$a_k^\dagger$、$a_k$。

玻色子算符的对易关系

考虑玻色子产生和湮灭算符，根据定义可知：

$a_k^\dagger a_{k'}^\dagger \ket{n_1,\dots,n_k,\dots,n_{k'},\dots} = \sqrt{(n_k+1)(n_{k'}+1)} \ket{n_1,\dots,n_k+1,\dots,n_{k'}+1,\dots}$

对于玻色子体系来说，交换任意两个产生算符的作用顺序，得到的结果完全相同，即$a_k^\dagger a_{k’}^\dagger = a_{k’}^\dagger a_k^\dagger$。同样，交换任意两个玻色子湮灭算符也得到相同的结果：$a_k a_{k’} = a_{k’} a_k$。

接下来考虑依次作用一个产生算符和一个湮灭算符，对于$k \neq k’$的情况：

$a_k a_{k'}^\dagger \ket{n_1,\dots,n_k,\dots,n_{k'},\dots} = \sqrt{n_k(n_{k'}+1)} \ket{n_1,\dots,n_k-1,\dots,n_{k'}+1,\dots}$

也很容易证明$a_k a_{k’}^\dagger = a_{k’}^\dagger a_k$。但是当$k = k’$的情况：

$\begin{aligned} a_k a_k^\dagger \ket{n_1,\dots,n_k,\dots} &= (n_k+1) \ket{n_1,\dots,n_k,\dots}\\ a_k^\dagger a_k \ket{n_1,\dots,n_k,\dots} &= (n_k) \ket{n_1,\dots,n_k,\dots} \end{aligned}$

可见此时$a_k a_{k’}^\dagger - a_{k’}^\dagger a_k = 1$；于是我们可以总结玻色子产生湮灭算符的对易关系为：

$[a_k,a_{k'}^\dagger] = \delta_{kk'}\ ,\qquad [a_k,a_{k'}] = [a_k^\dagger, a_{k'}^\dagger] = 0$

费米子算符的反对易关系

费米子的情况与之略有不同。

我们首先考虑$k\neq k’$的情况，令两个不同态的费米子产生算符连续作用于Fock态上：

$a_k^\dagger a_{k'}^\dagger \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_k,u_{k'},u_i,\dots,u_l,\dots}$

但若交换两个不同态费米子产生算符的作用顺序，就得到：

$a_{k'}^\dagger a_k^\dagger \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_{k'},u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} = -\ket{u_k,u_{k'},u_i,\dots,u_l,\dots}$

可见对于不同态的费米子产生算符，交换两者顺序会产生一个负号：$a_k^\dagger a_{k’}^\dagger = - a_{k’}^\dagger a_k^\dagger$。湮灭算符的情况也可以类似讨论，也可以直接对前式取厄米共轭，得到不同态的费米子湮灭算符的相应关系：$a_k a_{k’} = - a_{k’} a_k$。

至于一个湮灭算符$a_k$和一个产生算符$a_{k’}^\dagger$（仍考虑$k\neq k’$的情况）的乘积，显然只有当其作用在占据数$n_k = 1$且$n_{k’} = 0$的Fock态上才有非零结果，不妨将态$\ket{u_k}$排在Fock态中序列的最左边：

$\begin{aligned} a_{k'}^\dagger a_k \ket{u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} &= a_{k'}^\dagger \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_{k'},u_i,\dots,u_l,\dots}\\ a_k a_{k'}^\dagger \ket{u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} &= a_k \ket{u_{k'},u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} = - \ket{u_{k'},u_i,\dots,u_l,\dots} \end{aligned}$

可见交换顺序会产生一个负号：$a_{k’}^\dagger a_k = -a_k^\dagger a_{k’}$。

接下来考虑当$k = k’$的情况，显然由于费米子算符的性质：$a_k a_k = (a_k)^2 = 0$，$a_k^\dagger a_k^\dagger = (a_k^\dagger)^2 = 0$；最后还需要讨论$a_k^\dagger a_k$与$a_k^\dagger a_k$之间的关系。

若作用于占据数$n_k = 1$的Fock态：

$\begin{aligned} a_k^\dagger a_k \ket{u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} &= a_k^\dagger \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_k,u_i,\dots,u_l,\dots}\\ a_k a_k^\dagger \ket{u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} &= 0 \end{aligned}$

若作用于占据数$n_k = 0$的Fock态：

$\begin{aligned} a_k^\dagger a_k \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} &= 0\\ a_k a_k^\dagger \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} &= a_k \ket{u_k,u_i,\dots,u_l,\dots} = \ket{u_i,\dots,u_l,\dots} \end{aligned}$

可见无论哪种情况，$a_k^\dagger a_k = -a_k^\dagger a_k = 1$。

综上所述，得到费米子产生湮灭算符的反对易关系：

$\{a_k,a_{k'}^\dagger\} = \delta_{kk'}\ ,\qquad \{a_k,a_{k'}\} = \{a_k^\dagger, a_{k'}^\dagger\} = 0$

形式化统一

或者我们引入新的记号：

$\eta = \begin{cases} +1 & {\rm\ for\ Bosons}\\ -1 & {\rm\ for\ Fermions} \end{cases}$

并且定义括号为：

$[A,B]_{-\eta} = AB - \eta BA = \begin{cases} AB-BA = [A,B] & {\rm\ for\ Bosons}\\ AB+BA = \{A,B\} & {\rm\ for\ Fermions} \end{cases}$

于是可将玻色子与费米子算符的对易/反对易关系形式化地统一为：

$[a_k,a_{k'}^\dagger]_{-\eta} = \delta_{kk'}\ ,\quad[a_k^\dagger,a_{k'}]_{-\eta} = -\eta\delta_{kk'}\ ,\quad [a_k,a_{k'}]_{-\eta} = [a_k^\dagger, a_{k'}^\dagger]_{-\eta} = 0$

基底变换

现在我们对玻色子和费米子分别定义了其Fock空间上的产生算符和湮灭算符，并讨论了它们一些最重要的性质。作为本节最后一部分，讨论当我们在单粒子态空间$\mathscr E_1$中从基$\{\ket{u_i}\}$变换到另一组基$\{\ket{v_s}\}$时，产生湮灭算符的变换行为。

具体来说，前面我们定义Fock空间的基以及其上的算符$a_{u_k}^\dagger$、$a_{u_k}$是依赖于基$\{\ket{u_i}\}$的，那么新基$\{\ket{v_s}\}$理应可以按照完全相同的方式定义Fock空间的基以及其上的算符$a_{v_s}^\dagger$、$a_{v_s}$。那么新的算符与旧算符之间存在什么样的关系呢？

将新的产生算符作用于真空态，并将结果按旧基展开，立即可以得到：

$a_{v_s}^\dagger \ket{0} = \ket{v_s} = \sum_i \ket{u_i} \braket{u_i}{v_s} = \sum_i \braket{u_i}{v_s} a_{u_i}^\dagger \ket{0}$

也就是新产生算符由旧产生算符的展开式：

$a_{v_s}^\dagger = \sum_i \braket{u_i}{v_s} a_{u_i}^\dagger$

对其取厄米共轭，就得到新湮灭算符由旧湮灭算符的展开式：

$a_{v_s} = \sum_i \braket{v_s}{u_i} a_{u_i}$

上面两式表明，产生算符的基地变换规律服从与单粒子态相同的幺正变换（即是协变的）。进而可以得到对易/反对易关系为：

$[a_{v_s},a_{v_{s'} }^\dagger]_{-\eta} = \sum_{k,k'} \braket{v_s}{u_k} \braket{u_{k'} }{v_{s'} } [a_{u_k},a_{u_{k'} }^\dagger]_{-\eta} = \sum_{k,k'} \braket{v_s}{u_k} \braket{u_{k'} }{v_{s'} } \delta_{kk'} = \delta_{ss'}$

其余关系也可以类似导出。这验证了新基定义的产生湮灭算符仍满足相同的对易/反对易关系。进一步还不难证明，在这样的表象变换下，旧算符对旧Fock态的作用自然就变换为新算符对新Fock态的作用。这就验证了两种基选取的等价性。

单体对称算符

利用产生和湮灭算符，可以更简单地在Fock空间中表示出物理可观测量所对应的对称算符。这样的算符作用于全同粒子体系上，可以想象，对称算符的类型可以分为：

单体对称算符，即作用于各个单粒子态的算符之和：$S = \sum_i S_i$；
双体对称算符，即作用于两个单粒子态的算符之和：$D = \frac12 \sum_{i,j} D_{ij}$；
涉及更高粒子数的对称算符，例如三体对称算符：$T = \frac{1}{3!} \sum_{i,j,k} T_{ijk}$。

本节首先讨论最简单的单体对称算符。

定义

考虑作用在单粒子态空间上的算符$\hat f$，我们用$\hat f(q)$来标记作用在第$q$个粒子的态空间上的算符，当然编号$q$是没有物理意义的。$\hat f$可以是任何仅与单个粒子相联系的可观测量的观察算符，例如粒子的动量，或相对于原点的角动量。

利用$\hat f(q)$，可以构造出与整个$N$全同粒子体系相联系的算符，例如体系的总动量，或相对于确定点的总角动量。这样的算符作用于空间$\mathscr E_S(N)$或$\mathscr E_A(N)$上，定义为：

$\hat F^{(N)} = \sum_{q=1}^N \hat f(q)$

（注意曾在第十四章中的讨论：尽管物理态可以是完全对称或完全反对称态，但可观测量对应的观察算符永远是对称的算符。）进一步，就可以定义作用在Fock空间上的算符：

$\hat F = \bigoplus_{N=0}^\infty \hat F^{(N)} = \bigoplus_{N=0}^\infty \sum_{q=1}^N \hat f(q)$

它作用于某个具体的$N$粒子Fock态的结果，就是相应$\hat F^{(N)}$作用的结果；进而可以确定作用于整个Fock空间中任意右矢的结果。

尽管定义是明确的，但下面将会看到，若要利用上述这种记号来计算其矩阵元通常会比较复杂，这是因为引入了非物理的编号$q$从而导致对这种非物理指标的复杂求和，还需要考虑对算符和态的对称化操作。为此，我们对于算符$\hat F$更常用的表示是利用产生和湮灭算符写出的。

利用算符$a$和$a^\dagger$表达

算符$\hat f(q)$对单粒子态的作用

对于单粒子态空间选取基$\{\ket{u_i}\}$，那么该空间上的单体算符$\hat f$的矩阵元$f_{kl}$就是：

$f_{kl} = \bra{u_k} \hat f \ket{u_l}$

于是前面定义中的算符$\hat f(q)$就可以利用矩阵元$f_{kl}$写为：

$\hat f(q) = \sum_{k,l} \ket{q:u_k} \bra{q:u_k} \hat f(q) \ket{q:u_l} \bra{q:u_l} = \sum_{k,l} f_{kl} \ket{q:u_k} \bra{q:u_l}$

这里引入记号$\ket{q:u_k}$来表明第$q$个粒子的单粒子态是$\ket{u_k}$。

算符$\hat F^{(N)}$对$N$粒子态的作用

利用上面的表达式，可以写出：

$\hat F^{(N)} = \sum_{k,l}f_{kl} \sum_{q=1}^N \ket{q:u_k} \bra{q:u_l}$

考虑将其作用于如下的某个任意Fock态：

$\ket{u_i,\dots,u_j,\dots,u_m,\dots}$

我们这里采用的记号是将它的每个占据态都一一列出，因此该记号对于玻色子和费米子都是适用的。作用结果就将是若干项之和，每项形如：

$\left[ \sum_{q=1}^N \ket{q:u_k} \bra{q:u_l} \right] \ket{u_i,u_i,\dots,u_j,u_j,\dots,u_m,\dots}$

它们按照系数$f_{kl}$求和。注意到括号中的算符是关于粒子置换对称的算符，因此它与$S_N$和$A_N$都是对易的；于是：

$\begin{aligned} &\left[ \sum_{q=1}^N \ket{q:u_k} \bra{q:u_l} \right] \ket{u_i,u_i,\dots,u_j,u_j,\dots,u_l,\dots}\\ =& \sqrt{\frac{N!}{n_i!n_j!\cdots n_m!\cdots} } \begin{matrix}S_N\\A_N\end{matrix} \left[ \sum_{q=1}^N \ket{q:u_k} \bra{q:u_l} \right]\\ &\ket{1:u_i;\cdots;n_i:u_i;n_i+1:u_j;\cdots;n_i+n_j:u_j;\cdots;q:u_m;\cdots} \end{aligned}$

注意上式中，只有在中括号内的指标$q$是求和指标，而在右矢里的$q$就是单纯的第$q$个编号。在当括号内对$q$求和时，上式的非零项来自于那些第$q$个单粒子态$\ket{u_m}$恰好是$\ket{u_l}$态的右矢，这样的右矢有$n_l$个；对于这$n_l$项中的某个特定的$q$，算符$\ket{q:u_k} \bra{q:u_l}$的作用效果就是将其第$q$个单粒子态$\ket{u_l}$换为$\ket{u_k}$（特别地，对于费米子体系，若$\ket{u_k}$原本已被占据，那么结果是0）：

$\sqrt{\frac{N!}{n_i!n_j!\cdots n_m!\cdots} } \begin{matrix}S_N\\A_N\end{matrix} \ket{1:u_i;\cdots;n_i+1:u_j;\cdots;\cdots;q:u_k;\cdots}$

由于还要被算符$S_N$或$A_N$对称化/反对称化，因此这样的项对于那些$n_l$个$q$都是相同的。接下来分两种情况讨论：

若$k \neq l$：

对玻色子体系，上述式子结果就是
$\sqrt{\frac{n_k+1}{n_l} } \ket{u_i,u_i,\dots,u_j,u_j,\dots,u_k,\dots}$
一共有$n_l$个这样相同的项，于是它们总的贡献是系数$\sqrt{n_l(n_k+1)}$。这样的结果恰好就是玻色子算符$a_k^\dagger a_l$作用于最初的任意Fock态$\ket{u_i,\dots,u_j,\dots,u_m,\dots}$（特别是当其不占据 $\ket{u_l}$时就得到0结果）。

对费米子体系，只有在最初的任意Fock态$\ket{u_i,\dots,u_j,\dots,u_m,\dots}$中，$n_k = 0$而$n_l = 1$时，结果才不为零，并且恰好就是费米子算符$a_k^\dagger a_l$作用于它；否则得到0结果。
若$k = l$：

对玻色子体系，最终给出系数$n_l$，这也符合玻色子算符$a_l^\dagger a_l$的作用效果；对费米子体系，只有在最初Fock态中$n_l = 0$时才有非零结果，这也符合费米子算符$a_l^\dagger a_l$的作用效果。

总而言之，无论何种情况下，都有：

$\begin{aligned} &\left[ \sum_{q=1}^N \ket{q:u_k} \bra{q:u_l} \right] \ket{u_i,u_i,\dots,u_j,u_j,\dots,u_l,\dots}\\ =& a_k^\dagger a_l \ket{u_i,u_i,\dots,u_j,u_j,\dots,u_l,\dots} \end{aligned}$

也就是说

$\left[ \sum_{q=1}^N \ket{q:u_k} \bra{q:u_l} \right] = a_k^\dagger a_l$

最终得到

$\hat F^{(N)} = \sum_{k,l}f_{kl} a_k^\dagger a_l = \sum_{k,l} \bra{u_k}\hat f\ket{u_l} a_k^\dagger a_l$

在这种形式下，我们取消了对非物理编号$q$的求和，而仅仅是直接考虑矩阵元指标$k,l$所对应的产生、湮灭算符。显然这种表达方式是更自然、也更便于计算的。

算符$\hat F$在Fock空间上的作用

注意到尽管我们是在空间$\mathscr E_S(N)$或$\mathscr E_A(N)$上定义算符$\hat F^{(N)}$，但在上一小节最后得到的表达式中却实际上并不依赖于某个特定的粒子数$N$。因此直接就能得到定义在整个Fock空间上的算符：

$\hat F = \sum_{k,l}f_{kl} a_k^\dagger a_l = \sum_{k,l} \bra{u_k}\hat f\ket{u_l} a_k^\dagger a_l$

这就是我们对单体对称算符最终得到的普遍表达式；它不依赖于非物理的编号$q$，而仅仅由单体矩阵元$f_{kl} = \bra{u_k}\hat f\ket{u_l}$和产生湮灭算符$a_k^\dagger$、$a_l$构成。注意到在它的表达式中，产生算符和湮灭算符总是成对出现，因此算符$\hat F$不改变态的粒子数；或者说，它的作用对子空间$\mathscr E(N)$是封闭的。

注意到，若我们选取合适的单粒子态空间的基$\ket{u_i}$，总可以在单粒子态空间中将算符$\hat f$对角化：

$f_{kl} = f_k \delta^k_l$

于是Fock空间上的算符$\hat F$也具有简单形式：

$\hat F = \sum_{k,l} f_k \delta^k_l a_k^\dagger a_l = \sum_k f_k a_k^\dagger a_k = \sum_k f_k \hat n_k$

其中$\hat n_k$是$\ket{u_k}$的占据数算符。这表明若在合适的基底下，单体对称算符可以表示成在各个占据态上，占据数与相应对角元$f_k$（通常也是$\ket{u_k}$的本征值）的乘积遍历求和。

例子：

粒子数算符$\hat N$：
$\hat N = \sum_k \hat n_k = \sum_i a_k^\dagger a_k$
它描述的就是全同粒子体系的总粒子数，显然直观来看就是个个单粒子态上的占据数之和。注意到该算符形式不依赖于具体基的选取，这是容易证明也是符合直觉的。
定域密度算符$\hat D({\boldsymbol r_0})$：

该算符的单体算符是$\hat f = \ket{\boldsymbol r_0} \bra{\boldsymbol r_0}$，它对应于定域$\boldsymbol r_0$处的概率密度；于是
$\hat D({\boldsymbol r_0}) = \sum_{k,l} u_k^*(\boldsymbol r_0) u_l(\boldsymbol r_0) a_k^\dagger a_l$
其中$u_l(\boldsymbol r_0)$是单粒子态$\ket{u_l}$在坐标表象下的波函数。

类似$\hat D({\boldsymbol r_0})$这样的算符，我们还可以在不同的表象下分别定义相应的密度算符。
动量算符$\hat {\boldsymbol P}$：

我们选取单粒子态基矢为动量本征态$\ket{\boldsymbol p}$，那么利用单粒子态动量算符$\hat{\boldsymbol p}$就可以得到体系的总动量算符：
$\hat {\boldsymbol P} = \sum_{\boldsymbol p} {\boldsymbol p} a_{\boldsymbol p}^\dagger a_{\boldsymbol p} = \sum_{\boldsymbol p} {\boldsymbol p} \hat n_{\boldsymbol p}$
动能算符$\hat H_0$：

同样在单粒子动量本征态$\ket{\boldsymbol p}$构成的基矢下，体系总动能为：
$\hat H_0 = \sum_{\boldsymbol p} \frac{ \boldsymbol p^2}{2m} a_{\boldsymbol p}^\dagger a_{\boldsymbol p} = \sum_{\boldsymbol p} \frac{ \boldsymbol p^2}{2m} \hat n_{\boldsymbol p}$
从动量和动能算符的表达形式可以看出，体系总动量和总动能分别就是各个动量本征态上粒子动量和动能与占据数的乘积遍历求和，这也是符合直觉的。

单体约化密度算符

现在考虑单体对称算符$\hat F$在任意态上的期望值$\left\langle \hat F \right\rangle$：

$\left\langle \hat F \right\rangle = \sum_{k,l} \bra{u_k}\hat f\ket{u_l} \left\langle a_k^\dagger a_l \right\rangle$

回顾在第三章补充材料中曾经讨论过的密度算符，若一个单粒子体系由密度算符$\rho_1(1)$描述，那么该单粒子态空间上的算符$\hat f(1)$期望值就是：

$\left\langle \hat f(1) \right\rangle = \tr \left\{ \hat f(1) \rho_1(1) \right\} = \sum_{k,l} \bra{u_k}\hat f\ket{u_l} \bra{u_l}\rho_1\ket{u_k}$

这启发我们定义单体约化密度算符$\rho_1$为：

$\bra{u_l}\rho_1\ket{u_k} = \left\langle a_k^\dagger a_l \right\rangle$

利用它可以将任意单体对称算符的期望值表达为：

$\left\langle \hat F \right\rangle = \tr \left\{ \hat f \rho_1 \right\}$

因此特别地，$\rho_1$本身的迹就是粒子数算符的期望：

$\tr \left\{ \rho_1 \right\} = \sum_k \left\langle a_k^\dagger a_k \right\rangle = \left\langle \hat N \right\rangle$

可见它并不像单粒子态密度算符那样迹为1。按照这样的方式约定它的迹更加方便，例如$\rho_1$在坐标表象的矩阵元就是定域密度算符$\hat D({\boldsymbol r_0})$的期望：

$\bra{ {\boldsymbol r_0} }\rho_1\ket{ {\boldsymbol r_0} } = \left\langle \hat D({\boldsymbol r_0}) \right\rangle$

而不需添加其他因子。

双体对称算符

定义

考虑与两个粒子相关联的物理可观测量，例如作用于两个单粒子态空间的张量积空间上的算符$\hat g$，我们用$\hat g(q,q’)$来标记作用在第$q$个粒子和第$q’$个粒子的态空间张量积上的算符，它本身对两个粒子的编号置换$q\leftrightarrow q’$就是对称的，即$\hat g(q,q’) = \hat g(q’,q)$。

类似于单体对称算符，我们也可以得到作用在$N$粒子空间上的双体对称算符：

$\hat G^{(N)} = \frac12 \sum_{q,q'=1;q\neq q'}^N \hat g(q,q')$

这里条件$q\neq q’$是因为若两者相等，则其事实上是单体算符；系数$1/2$是因为求和过程中对每个$(q,q’)$组合的算符事实上求和了两次（注意到$\hat g(q,q’) = \hat g(q’,q)$）。因此也可以写成：

$\hat G^{(N)} = \sum_{q<q'}^N \hat g(q,q')$

类似于单体对称算符，我们进一步还可定义Fock空间上的双体对称算符为：

$\hat G = \bigoplus_{N = 0}^\infty \hat G^{(N)} = \bigoplus_{N = 0}^\infty \sum_{q<q'}^N \hat g(q,q')$

简单例子：因式分解

首先假设一个简单情况，即算符$\hat g(q,q’)$可以被分离变量为：

$\hat g(q,q') = \hat f(q) \hat h(q')$

在这种情况下有：

$\hat G^{(N)} = \frac12 \sum_{q,q'=1;q\neq q'}^N \hat f(q) \hat h(q') = \frac12 \left[ \sum_{q=1}^N \hat f(q) \sum_{q'=1}^N \hat h(q') - \sum_{q = 1}^N \hat f(q) \hat h(q) \right]$

等式右边事实上被分解为单体对称算符的形式：

$\sum_{q=1}^N \hat f(q) = \sum_{i,k} \bra{u_i}\hat f\ket{u_k} a_i^\dagger a_k$ $\sum_{q'=1}^N \hat h(q') = \sum_{j,l} \bra{u_j}\hat h\ket{u_l} a_j^\dagger a_l$ $\sum_{q = 1}^N \hat f(q) \hat h(q) = \sum_{i,l} \bra{u_i}\hat f \hat h \ket{u_l} a_i^\dagger a_l$

于是

$\hat G^{(N)} = \frac12 \left[ \sum_{i,j,k,l} \bra{u_i}\hat f\ket{u_k} \bra{u_j}\hat h\ket{u_l} (a_i^\dagger a_k) (a_j^\dagger a_k) -\sum_{i,l} \bra{u_i}\hat f \hat h \ket{u_l} a_i^\dagger a_l \right]$

利用产生湮灭算符的对易/反对易关系，可得

$(a_i^\dagger a_k) (a_j^\dagger a_k) = \eta a_i^\dagger a_j^\dagger a_k a_l + \delta_{jk} a_i^\dagger a_l = a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k + \delta_{jk} a_i^\dagger a_l$

于是得到

$\hat G^{(N)} = \frac12 \sum_{i,j,k,l} \bra{u_i}\hat f\ket{u_k} \bra{u_j}\hat h\ket{u_l} a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k$

再一次，我们得到了一个与$N$无关的表达式；于是定义在整个Fock空间上的算符：

$\hat G = \frac12 \sum_{i,j,k,l} \bra{u_i}\hat f\ket{u_k} \bra{u_j}\hat h\ket{u_l} a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k$

普遍情况

一般来说双体算符$\hat g(q,q’)$不一定能直接进行分离变量，但是可以表为单体算符乘积的线性组合：

$\hat g(q,q') = \sum_{\alpha,\beta} c_{\alpha,\beta} \hat f_\alpha(q) \hat h_\beta(q')$

这是因为双体态空间是单体态空间的张量积，那么其上的算符自然也可以由单体算符表出。于是$N$粒子体系的双体对称算符为：

$\hat G^{(N)} = \frac12 \sum_{\alpha,\beta} c_{\alpha,\beta} \sum_{q,q'=1;q\neq q'}^N \hat f_\alpha(q) \hat h_\beta(q')$

第二个求和符号所引导的每项都具有前一小节简单例子的形式；于是

$\hat G^{(N)} = \frac12 \sum_{\alpha,\beta} c_{\alpha,\beta} \sum_{i,j,k,l} \bra{u_i}\hat f_\alpha\ket{u_k} \bra{u_j}\hat h_\beta\ket{u_l} a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k$

特别地，我们将算符$\hat g(1,2)$的矩阵元定义为：

$\bra{1:u_i;2:u_j} \hat g(1,2) \ket{1:u_k;2:u_l} = \sum_{\alpha,\beta} \bra{u_i}\hat f_\alpha\ket{u_k} \bra{u_j}\hat h_\beta\ket{u_l}$

就有：

$\hat G = \frac12 \sum_{i,j,k,l} \bra{1:u_i;2:u_j} \hat g(1,2) \ket{1:u_k;2:u_l} a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k$

这就是Fock空间上双体对称算符的普遍形式。在它的表达式中，产生算符和湮灭算符同样总是成对出现，因此算符$\hat G$也不改变态的粒子数。注意在其中，产生算符的顺序与左矢中一样，而湮灭算符的顺序与右矢中相反。

双体约化密度算符

类似于单体对称算符的情况：

$\left\langle \hat G \right\rangle = \frac12 \sum_{i,j,k,l} \bra{1:u_i;2:u_j} \hat g(1,2) \ket{1:u_k;2:u_l} \left\langle a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k \right\rangle$

我们也可以定义双体约化密度算符$\rho_2$为：

$\bra{1:u_k;2:u_l} \rho_2(1,2) \ket{1:u_i;2:u_j} = \left\langle a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k \right\rangle$

这样就可将算符$\hat g(1,2)$的期望表示为：

$\left\langle \hat g(1,2) \right\rangle = \sum_{i,j,k,l} \bra{1:u_i;2:u_j}\hat g(1,2)\ket{1:u_k;2:u_l} \bra{1:u_k;2:u_l}\rho_2(1,2)\ket{1:u_i;2:u_j}$

按照这里对$\rho_2$的定义，它在坐标表象恰好就是所谓”双密度“——两点关联函数，这将在之后讨论。它的迹是：

$\tr \left\{ \rho_2 \right\} = \sum_{i,j} \left\langle a_i^\dagger a_j^\dagger a_l a_k \right\rangle = \left\langle \hat N(\hat N - 1) \right\rangle$