场算符的定义

场算符是通过湮灭算符来定义的。回顾第十五章中所定义的湮灭算符在表象变换下的行为：

$a_{v_s} = \sum_i \bra{v_s} \ket{u_i} a_{u_i}$

但是在这里我们将新基$\{\ket{v_s}\}$取为坐标表象$\{\ket{\boldsymbol r}\}$，得到的结果就将是所谓场算符。

定义

我们首先定义无自旋粒子的场算符，再将其推广到有自旋粒子的情况。

无自旋粒子

定义无自旋场算符：

$\Psi(\boldsymbol r) = \sum_k \braket{\boldsymbol r}{u_k} a_k = \sum_k u_k(\boldsymbol r) a_k$

可见场算符$\Psi(\boldsymbol r)$本质上就是坐标本征态的湮灭算符。既然算符$a_k$的作用是湮灭掉一个处于单粒子态$\ket{u_k}$的粒子，那么按照定义，场算符$\Psi(\boldsymbol r)$的作用就是湮灭掉一个位于$\boldsymbol r$处的粒子，而无论该粒子所处的单粒子态如何；若体系在$\boldsymbol r$处不存在粒子，那么得到0结果。

既然$\{\ket{u_k}\}$构成单粒子态的完备正交基，那么无论这个位于$\boldsymbol r$处的粒子究竟处于什么单粒子态，都可以被某个$a_k$或某些$a_k$的线性组合所湮灭掉。

从另一个角度理解，它是某表象下的湮灭算符$a_k$按照其表象基矢$\ket{u_k}$的波函数$u_k(\boldsymbol r)$线性组合得来。形式上看，场算符$\Psi(\boldsymbol r)$具有在波函数基$\{u_k(\boldsymbol r)\}$下展开的形式，“展开系数”就是$a_k$，只不过这里它们不是普通的复数，而是算符。

尽管我们是在某个特定的基$\{\ket{u_k}\}$下给出定义，但是场算符$\Psi(\boldsymbol r)$本质上并不依赖于基的选取：

$\Psi(\boldsymbol r) = \sum_k\sum_s \braket{\boldsymbol r}{v_s} \braket{v_s}{u_k} a_{u_k} = \sum_s \braket{\boldsymbol r}{v_s} a_{v_s} = \sum_s v_s(\boldsymbol r) a_s$

即任何基下的湮灭算符按照这样的线性组合所得到的结果都是相同的场算符$\Psi(\boldsymbol r)$——不如说，$\Psi(\boldsymbol r)$就只是坐标表象的湮灭算符，与其他任何基都无关。

对场算符$\Psi(\boldsymbol r)$的定义式取厄米共轭：

$\Psi^\dagger(\boldsymbol r) = \sum_k\braket{u_k}{\boldsymbol r} a_k^\dagger = \sum_k u^*_k(\boldsymbol r) a_k^\dagger$

它也是一个场算符。场算符$\Psi^\dagger(\boldsymbol r)$本质上就是坐标本征态的产生算符，其作用是在$\boldsymbol r$处产生一个粒子。这一点从其作用在真空态上可以明显看出:

$\Psi^\dagger(\boldsymbol r) \ket{0} = \sum_k \ket{u_k}\braket{u_k}{\boldsymbol r} = \ket{\boldsymbol r}$

这里单粒子态$\ket{\boldsymbol r}$就描述一个位于$\boldsymbol r$处的粒子。

另一方面，还可以写出场算符定义式的逆式，也就是从场算符得到产生算符$a_k^\dagger$和湮灭算符$a_k$：

$\int{\rm d}^3r \Psi(\boldsymbol r) u_k^*(\boldsymbol r) = \int{\rm d}^3r u_k^*(\boldsymbol r) \sum_j u_j(\boldsymbol r) a_j = \sum_j\delta_{jk}a_j = a_k$ $\int{\rm d}^3r \Psi^\dagger(\boldsymbol r) u_k(\boldsymbol r) = a_k^\dagger$

有自旋粒子

若粒子有自旋$s$，那么仅仅坐标本征态集$\{\ket{\boldsymbol r}\}$不足以构成完备基；至少要坐标与自旋的共同本征态$\{\ket{\boldsymbol r,\nu}\}$，其中指标$\nu$取$2s+1$个离散值：$-s,-s+1,\dots,+s$；因此有自旋粒子的场算符也需要定义为：

$\Psi_\nu(\boldsymbol r) = \sum_k \braket{\boldsymbol r,\nu}{u_k} a_k = \sum_k u_{k,\nu}(\boldsymbol r) a_k$

其中波函数$u_{k,\nu}(\boldsymbol r)$是单粒子态$\ket{u_k}$在坐标和自旋空间的“波函数”；反过来，单粒子态$\ket{u_k}$也可展开为：

$\ket{u_k} = \sum_{\nu = -s}^{+s} \int{\rm d}^3r u_{k,\nu}(\boldsymbol r) \ket{\boldsymbol r,\nu}$

场算符$\Psi_\nu(\boldsymbol r)$的作用是湮灭掉一个位于$\boldsymbol r$处的、自旋为$\nu$的粒子；若体系不存在这样的粒子，那么得到0结果。

取其厄米共轭就得到：

$\Psi^\dagger_\nu(\boldsymbol r) = \sum_k \braket{u_k}{\boldsymbol r,\nu} a_k^\dagger = \sum_k u^*_{k,\nu}(\boldsymbol r) a_k^\dagger$

场算符$\Psi^\dagger_\nu(\boldsymbol r)$的作用是在$\boldsymbol r$处产生一个自旋为$\nu$的粒子：

$\Psi^\dagger_\nu(\boldsymbol r) \ket{0} = \sum_k \ket{u_k}\braket{u_k}{\boldsymbol r,\nu} = \ket{\boldsymbol r,\nu}$

同样，也可以写出逆式：

$a_k = \sum_{\nu = -s}^{+s} \int{\rm d}^3r \Psi(\boldsymbol r) u^*_{k,\nu}(\boldsymbol r)$ $a_k^\dagger = \sum_{\nu = -s}^{+s} \int{\rm d}^3r \Psi^\dagger(\boldsymbol r) u_{k,\nu}(\boldsymbol r)$

场算符的对易/反对易关系

场算符本质上仍是产生/湮灭算符；据此，它们应当满足与产生/湮灭算符一样的对易/反对易关系。

无自旋粒子

根据产生/湮灭算符的坐标变换规律，可以得到：

$\begin{aligned}[] [\Psi(\boldsymbol r),\Psi(\boldsymbol r')]_{-\eta} &= \sum_{k,k'} u_k(\boldsymbol r) u_{k'}(\boldsymbol r') [a_k,a_{k'}]_{-\eta} = 0\\ [\Psi^\dagger(\boldsymbol r),\Psi^\dagger(\boldsymbol r')]_{-\eta} &= \sum_{k,k'} u_k^*(\boldsymbol r) u_{k'}^*(\boldsymbol r') [a_k^\dagger,a_{k'}^\dagger]_{-\eta} = 0 \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned}[] [\Psi(\boldsymbol r),\Psi^\dagger(\boldsymbol r')]_{-\eta} &= \sum_{k,k'} u_k(\boldsymbol r) u_{k'}^*(\boldsymbol r') [a_k,a_{k'}^\dagger]_{-\eta}\\ &= \sum_{k} \braket{\boldsymbol r}{u_k} \braket{u_k}{\boldsymbol r'}\\ &= \braket{\boldsymbol r}{\boldsymbol r'}\\ &= \delta^{(3)}(\boldsymbol r - \boldsymbol r') \end{aligned}$

这组式子称为场算符的等时正则对易关系（equal-time commutative relation，ETCR）；因为我们只考虑了场算符对空间坐标$\boldsymbol r$的依赖，相当于是在$t=0$时刻的对易关系；并且只要将场算符$\Psi(\boldsymbol r)$和$\Psi^\dagger(\boldsymbol r)$分别视作体系的“正则坐标”与“正则动量”，那么它们与量子力学的正则量子化中的正则对易关系也具有形式上的相似性。

有自旋粒子

与前面的情况类似，有自旋粒子的场算符满足：

$\begin{aligned}[] [\Psi_\nu(\boldsymbol r),\Psi_{\nu'}(\boldsymbol r')]_{-\eta} &= 0\\ [\Psi_\nu^\dagger(\boldsymbol r),\Psi_{\nu'}^\dagger(\boldsymbol r')]_{-\eta} &= 0\\ [\Psi_\nu(\boldsymbol r),\Psi_{\nu'}^\dagger(\boldsymbol r')]_{-\eta} &= \delta^{(3)}(\boldsymbol r - \boldsymbol r')\delta_{\nu\nu'} \end{aligned}$

对称算符

在第十五章中，曾经讨论了单体和双体对称算符的性质，并将它们用产生/湮灭算符表示。在场算符的情况下，也可以有类似的表示。

广义展开

仍从无自旋粒子开始。完全类比于上一章的讨论，可得单体对称算符：

$\hat F = \int{\rm d}^3 r \int{\rm d}^3 r' \bra{\boldsymbol r} \hat f \ket{\boldsymbol r'} \Psi^\dagger(\boldsymbol r) \Psi(\boldsymbol r')$

以及双体对称算符：

$\begin{aligned} \hat G =& \frac12\int{\rm d}^3 r \int{\rm d}^3 r' \int{\rm d}^3 r'' \int{\rm d}^3 r''' \\ &\bra{1:\boldsymbol r;2:\boldsymbol r'} \hat g \ket{1:\boldsymbol r'';2:\boldsymbol r'''} \Psi^\dagger(\boldsymbol r) \Psi^\dagger(\boldsymbol r') \Psi(\boldsymbol r''') \Psi(\boldsymbol r'') \end{aligned}$

其中产生算符的顺序与左矢中一样，而湮灭算符的顺序与右矢中相反。

对于有自旋粒子体系，单体对称算符无非就是：

$\hat F = \int{\rm d}^3 r \int{\rm d}^3 r' \sum_{\nu = -s}^{+s} \sum_{\nu' = -s}^{+s} \bra{\boldsymbol r,\nu} \hat f \ket{\boldsymbol r',\nu'} \Psi_\nu^\dagger(\boldsymbol r) \Psi_{\nu'}(\boldsymbol r')$

双体算符$\hat G$也类似。

$\hat F$的形式，与单粒子态算符$\hat f(1)$的期望值具有很高的形式相似性：

$\left\langle \hat f(1) \right\rangle = \int{\rm d}^3 r_1 \int{\rm d}^3 r'_1 \bra{\boldsymbol r_1} \hat f \ket{\boldsymbol r'_1} \psi^*(\boldsymbol r_1) \psi(\boldsymbol r'_1)$

但是两者实际上并不等价，因为算符$\hat F$作用于任意的粒子数$N$；并且$\Psi(\boldsymbol r)$被我们解释为产生/湮灭粒子的场算符，而非描述物理态的波函数，因此它们的乘积顺序很重要。这种相似性对于双体算符$\hat G$也是存在的。

尽管只是相似而非实际等价，但是这种相似性仍然给我们一种启发，即可以将以波函数为核心、描述单粒子的量子力学框架，移植到以场算符为核心、描述多粒子甚至变粒子的理论，也就是所谓的量子场论。

简单例子

一些重要的算符：

总粒子数算符$\hat N$：
$\hat N = \int{\rm d}^3r \Psi^\dagger(\boldsymbol r) \Psi(\boldsymbol r)$
它就是$\hat D(\boldsymbol r)$对全空间的积分。
总势能$\hat V_1$（势函数$V_1(\boldsymbol r)$仅仅是单粒子位置的函数）：
$\hat V_1 = \int{\rm d}^3r V_1(\boldsymbol r)\Psi^\dagger(\boldsymbol r) \Psi(\boldsymbol r)$
位置密度算符$\hat D(\boldsymbol r_0)$：对于单个粒子，其在位置$\boldsymbol r_0$处的密度算符是$\ket{\boldsymbol r_0}\bra{\boldsymbol r_0}$；于是对应的$N$粒子体系在位置$\boldsymbol r_0$处的密度算符为：
$\hat D^{(N)}(\boldsymbol r_0) = \sum_{q=1}^N \ket{q:\boldsymbol r_0}\bra{q:\boldsymbol r_0}$
Fock空间上的位置密度算符，只需将上一节中$\hat F$表达式的$\hat f$替换为$\ket{\boldsymbol r_0}\bra{\boldsymbol r_0}$即可：
$\hat D(\boldsymbol r_0) = \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi(\boldsymbol r_0)$
这个算符在位置$\boldsymbol r_0$处湮灭一个粒子，又立即在同一点产生一个粒子。它在$\ket{\Phi}$态的期望值为：
$\left\langle \hat D(\boldsymbol r_0) \right\rangle = \bra{\Phi} \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi(\boldsymbol r_0) \ket{\Phi}$
即该态在位置$\boldsymbol r_0$处的概率密度函数。
流密度算符$\hat {\boldsymbol j}(\boldsymbol r_0)$：
$\hat {\boldsymbol j}(\boldsymbol r_0) = \left[ \ket{\boldsymbol r_0}\bra{\boldsymbol r_0} \frac{\hat {\boldsymbol P} }{2m} + \frac{\hat {\boldsymbol P} }{2m} \ket{\boldsymbol r_0}\bra{\boldsymbol r_0} \right]$
它的期望值就是概率密度流函数。

场的空间关联函数

场算符另一类可以定义的算符，是空间关联函数，其期望值可以描述体系在空间不同两点之间的性质。

两点关联函数

定义非对角的单体算符：

$\ket{\boldsymbol r_0} \bra{\boldsymbol r_0'}$

类似于位置密度算符，可以定义$N$粒子体系的两点密度算符：

$\hat D^{(N)} (\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0') = \sum_{q=1}^N \ket{q:\boldsymbol r_0} \bra{q:\boldsymbol r_0'}$

在Fock空间中，相应的算符是

$\hat D(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0') = \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi(\boldsymbol r_0')$

这个算符在位置$\boldsymbol r_0’$处湮灭一个粒子，又立即在另一点$\boldsymbol r_0$产生一个全同粒子。它在$\ket{\Phi}$态的期望值为：

$G_1(\boldsymbol r_0;\boldsymbol r_0') = \left\langle \hat D(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0') \right\rangle = \bra{\Phi} \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi(\boldsymbol r_0) \ket{\Phi}$

称之为两点关联函数。它其实就是单体约化密度算符在坐标表象的矩阵元：

$G_1(\boldsymbol r_0;\boldsymbol r_0') = \langle \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi(\boldsymbol r_0') \rangle = \bra{\boldsymbol r_0'}\rho_1\ket{\boldsymbol r_0}$

回顾上一章定义单体约化密度算符时，在单粒子态空间中：
$\bra{\boldsymbol r_0'} \rho_1(q) \ket{\boldsymbol r_0} = \tr \left\{ \rho_1(1) \ket{q:\boldsymbol r_0} \bra{q:\boldsymbol r_0'} \right\} = \left\langle \ket{q:\boldsymbol r_0} \bra{q:\boldsymbol r_0'} \right\rangle$
于是对$N$粒子体系，
$\rho_1^{(N)} = \sum_{q=1}^N \rho_1(q)$
（这个算符的迹是$N$而非$1$。）它的期望值是：
$\bra{\boldsymbol r_0'} \rho_1^{(N)} \ket{\boldsymbol r_0} = \left\langle \sum_{q=1}^N \ket{q:\boldsymbol r_0} \bra{q:\boldsymbol r_0'} \right\rangle = \left\langle \hat D^{(N)} (\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0') \right\rangle$
于是就有
$\bra{\boldsymbol r_0'} \rho_1 \ket{\boldsymbol r_0} = \left\langle \hat D (\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0') \right\rangle = G_1(\boldsymbol r_0;\boldsymbol r_0')$

对于有自旋粒子的情况是类似的：

$G_1(\boldsymbol r_0,\nu;\boldsymbol r_0',\nu') = \langle \Psi_\nu^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi_{\nu'}(\boldsymbol r_0') \rangle = \bra{\boldsymbol r_0',\nu'}\rho_1\ket{\boldsymbol r_0,\nu}$

更高阶关联函数

两点关联函数与单个粒子相联系：在某点湮灭并在另一点产生。更高阶的关联函数与更多粒子相关联，例如两个粒子对应于四点关联函数。考虑双体算符：

$\hat g(1:\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0';2:\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0''') = \ket{1:\boldsymbol r_0} \bra{1:\boldsymbol r_0'} \otimes \ket{2:\boldsymbol r_0''} \bra{2:\boldsymbol r_0'''}$

于是$N$粒子体系的双体对称算符是：

$\hat G^{(N)}(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0';\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0''') = \sum_{q,q'=1;q\neq q'}^N \hat g(q:\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0';q':\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0''')$

进而可以得到Fock空间上的算符：

$\hat G(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0';\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0''') = \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0'') \Psi(\boldsymbol r_0''') \Psi(\boldsymbol r_0')$

这个算符在位置$\boldsymbol r_0’$和$\boldsymbol r_0’’’$处湮灭两个全同粒子，立即在$\boldsymbol r_0$和$\boldsymbol r_0’’$处产生两个全同粒子；它的期望值就是四点关联函数；它等于双体约化密度算符在坐标表象的矩阵元：

$\left\langle \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0'') \Psi(\boldsymbol r_0''') \Psi(\boldsymbol r_0') \right\rangle = \bra{1:\boldsymbol r_0';2:\boldsymbol r_0'''}\rho_2\ket{1:\boldsymbol r_0;2:\boldsymbol r_0''}$

其中算符$\rho_2$的迹是$N(N-1)$。

对于高阶的关联函数，$\boldsymbol r_0 = \boldsymbol r_0’$和$\boldsymbol r_0’’ = \boldsymbol r_0’’’$的情况尤其重要：

$\begin{aligned} \hat G^{(N)}(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0',\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0''') =& \sum_{q,q'=1;q\neq q'}^N \ket{q:\boldsymbol r_0} \bra{q:\boldsymbol r_0} \otimes \ket{q':\boldsymbol r_0''} \bra{q':\boldsymbol r_0''}\\ =&\sum_{q,q'=1;q\neq q'}^N \ket{q:\boldsymbol r_0;q':\boldsymbol r_0''} \bra{q:\boldsymbol r_0;q':\boldsymbol r_0''} \end{aligned}$

其对应于Fock空间算符为

$\hat G(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0;\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0'') = \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0) \Psi^\dagger(\boldsymbol r_0'') \Psi(\boldsymbol r_0'') \Psi(\boldsymbol r_0)$

这个算符表示在位置$\boldsymbol r_0$和$\boldsymbol r_0’’$处发现两个全同粒子的概率。其期望值是：

$\left\langle \hat G(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0;\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0'') \right\rangle = G_2(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0'')$

它给出两个粒子的“双密度”。若$\boldsymbol r_0 \neq \boldsymbol r_0’’$，不难验证：

$\hat G(\boldsymbol r_0,\boldsymbol r_0;\boldsymbol r_0'',\boldsymbol r_0'') = \hat D(\boldsymbol r_0) \hat D(\boldsymbol r_0'')$

但这并不意味着它的期望值也是两个单体期望值的乘积。