在第三章和第九章中已经陈述过对量子力学的正则量子化和自旋相关的一些基本假定；然而在处理全同粒子体系时，将会看到这些假定是不完备的；因此必须引入对全同粒子的新假定。

问题的梗概

全同粒子的定义

我们把一切固有性质都完全相同的两个粒子是“全同粒子”，包括它们的质量、电荷、自旋等等；在任何实验上都无法在两个全同粒子之间找到差别。在经典力学和量子力学中都可以定义全同粒子的概念。

基于全同粒子的定义，立即可以得到一个重要结论：在一个体系中若存在多个全同粒子，那么将它们交换后，体系的性质和演化规律都将没有任何变化。

经典力学中的全同粒子

经典力学中虽然有全同粒子的概念，但包含全同粒子的体系不会有什么区别于只有不同粒子的特别效果。其本质原因是在经典力学中，粒子的运动轨迹是确定的，因此我们总是可以在任意时刻为全同粒子进行编号，并在后续的时间中“追踪”不同编号的粒子，这一点是明确的。于是体系总的状态，无非是这些各个粒子状态的集合。

例如一个包含两个全同粒子的经典体系，我们在$t=0$可以确定体系初态为：两个粒子的位置分别是$q_0,q_0’$，速度分别为$\dot q_0,\dot q_0’$。

为描述上的方便，我们不妨对两个全同粒子分别编号$1$和$2$，那么在后续任何时刻我们总能够分别跟踪“$1$号粒子”和“$2$号粒子”，尽管它们的一切固有性质全都一样。

若采取这种编号，那么我们记两者在任意时刻$t$的坐标和速度分别为：

“$1$号粒子”：$\boldsymbol r_1(t)$；$\boldsymbol v_1(t)$。

“$2$号粒子”：$\boldsymbol r_2(t)$；$\boldsymbol v_2(t)$。

那么描述整个体系的基本变量集合就是$\{\boldsymbol r_1(t),\boldsymbol v_1(t);\boldsymbol r_2(t),\boldsymbol v_2(t)\}$。

当然，由于是全同粒子，这样编号总是存在任意性的；我们不妨采取这样的方式，使其初态满足：

$\boldsymbol r_1(0) = q_0\ ;\ \boldsymbol v_1(0) = \dot q_0; \qquad\ \boldsymbol r_2(0) = q_0'\ ;\ \boldsymbol v_2(0) = \dot q_0’$

在这样的初态下求解运动方程得到解为：

$\boldsymbol r_1(t) = q(t)\ ;\qquad \boldsymbol r_2(t) = q'(t)$

注意到我们一开始为两个全同粒子分别编号$1$和$2$，事实上将哪个粒子编号为$1$是任意的。因此实际上存在另一种可能的标记方法，即一开始就将两者编号交换：

$\boldsymbol r_1(0) = q_0'\ ;\ \boldsymbol v_1(0) = m_0'; \qquad\ \boldsymbol r_2(0) = q_0\ ;\ \boldsymbol v_2(0) = m_0$

由于两个粒子是全同粒子，说明交换它们不会对体系造成任何变化；这就是说，在体系的拉格朗日量或者哈密顿量中，不仅两者的自由粒子部分是完全相同的，并且若是存在相互作用，那么相互作用函数对两者也是完全对称的。因此：

$\mathcal L(\boldsymbol r_1,\boldsymbol v_1;\boldsymbol r_2,\boldsymbol v_2) = \mathcal L(\boldsymbol r_2,\boldsymbol v_2;\boldsymbol r_1,\boldsymbol v_1)$

或者：

$\mathcal H(\boldsymbol r_1,\boldsymbol p_1;\boldsymbol r_2,\boldsymbol p_2) = \mathcal H(\boldsymbol r_2,\boldsymbol p_2;\boldsymbol r_1,\boldsymbol p_1)$

求解运动方程的结果也将是直接交换：

$\boldsymbol r_1(t) = q'(t)\ ;\qquad \boldsymbol r_2(t) = q(t)$

这一结果表明，从效果上来看，对全同粒子进行编号，在经典力学水平上不会对结果造成任何影响；无论如何编号，最终两个粒子的运动轨迹分别是$q(t),q’(t)$，分别对应于确定的初态。既然两种编号得到的结果是完全一样的，那么我们编号只需要任选两种可能的编号方案之一即可；从一开始我们为两个粒子所取的任意编号就并不具有实际意义，而仅仅是出于求解方程上的便利性。

量子力学中的全同粒子

量子力学与经典力学的情况完全不同，究其原因在于单个粒子不存在让我们可以追踪的所谓“轨迹”，尤其是在多全同粒子的情况下，系统演化时各自的波函数会相互交叠，导致即使我们在某时刻观测并对粒子进行编号，之后的时刻观测后也无法分辨其编号。

这会导致与经典力学完全不同的结果：经典力学中，为了计算获知系统的末态，我们只需要在初态时任选一种允许的编号方案并按照运动方程计算即可，编号方式不会影响物理结果；但是量子力学中，我们不知道某种末态究竟对应于哪种演化过程，也就不知道末态对应于哪种编号约定；甚至可能是不同过程的叠加结果。

因此，如果要像经典力学那样，强行为全同粒子进行编号，并且不加其他假定的情况下按照前面构建起的量子力学体系进行计算，就会造成问题。

为将具体困难看得更清楚以寻找解决方案，我们将会简述几个具体的例子。

交换简并

两个自旋$1/2$体系的交换简并

首先考虑两个自旋$1/2$的全同粒子构成的体系，我们只关心它的自旋状态。假设在某时刻，系统的状态是：两者自旋$z$分量一个是$\ket{+}$，一个是$\ket{-}$。我们用带编号的自旋算符$\boldsymbol S_1$和$\boldsymbol S_2$来分别描述两者，并用$S_{1z}$和$S_{2z}$的共同本征矢$\ket{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$构成态空间的基；显然，对于这个状态，我们有两种编号约定：

$\ket{\varepsilon_1=+,\varepsilon_2=-}\qquad {\rm or} \qquad\ket{\varepsilon_1=-,\varepsilon_2=+}$

两者张成态空间的一个二维子空间，其中的矢量为：

$\ket{\psi} = \alpha\ket{+-} + \beta\ket{-+}$

但是注意到，由于我们处理的是全同粒子，因此事实上$\ket{+-}$和$\ket{-+}$这两种数学符号描述的是同一个“物理状态”；进而，它们的任何叠加$\alpha\ket{+-} + \beta\ket{-+}$描述的也是同样的物理状态，这就引起了交换简并：我们用以描述同一个物理状态的数学态矢，至少构成了一个二维简并子空间，其简并度是无穷高的——但这一简并仅仅是数学符号造成的假象，真实的物理是没有这种简并的。

交换简并会立即带来困难：考虑在这一状态下，测量两个自旋的$x$分量。我们尝试使用之前给出的量子力学基本假定来写出测量结果是两个自旋$x$分量都是$+\hbar/2$的概率。

两个自旋$x$分量都是$+\hbar/2$的测量结果，对应于态空间的唯一一个右矢：

$\begin{aligned} \ket{\phi} =&\frac{1}{\sqrt2}[\ket{\varepsilon_1 = +} + \ket{\varepsilon_1 = -}] \otimes \frac{1}{\sqrt2}[\ket{\varepsilon_2 = +} + \ket{\varepsilon_2 = -}]\\ =& \frac{1}{2} [\ket{++} + \ket{-+} + \ket{+-} + \ket{--}] \end{aligned}$

若我们采用$\ket{\psi} = \alpha\ket{+-} + \beta\ket{-+}$来描述原来的态，那么从这样的态中测量得到两个自旋$x$分量都是$+\hbar/2$的测量结果，其概率应为：

$\mathscr P = |\braket{\psi}{\phi}|^2 = \left|\frac12(\alpha+\beta)\right|^2$

即便我们约定归一化条件$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$，这一结果也是依赖于具体的$\alpha$和$\beta$值的；而根据前面的讨论，$\alpha$和$\beta$只是一种数学约定，不应该影响真实的物理结果。这表明，在量子力学中，不是所有的$\ket{\psi} = \alpha\ket{+-} + \beta\ket{-+}$都适合描述特定的物理状态，换句话说，像经典力学那样编号的任意性不复存在了。我们必须消除交换简并，用一种特定的$\alpha$和$\beta$值来描述物理状态。

一般体系的交换简并

考虑$N$个全同粒子的体系。若我们用带编号的单粒子态空间$\mathscr E(1)$、$\mathscr E(2)$、$\mathscr E(3)$来分别描述三个粒子的态空间，那么体系态空间就是

$\mathscr E = \mathscr E(1) \otimes \mathscr E(2) \otimes \mathscr E(3)$

对于任意可观测量$A$，三个子空间中都存在它的观察算符：$A(1)$、$A(2)$、$A(3)$。假设$A(1)$本身就构成$\mathscr E(1)$的CSCO，那么由于粒子的全同性，$A(2)$、$A(3)$也分别在$\mathscr E(2)$、$\mathscr E(3)$中构成CSCO，并且三者具有完全相同的本征谱：$\{b(n)_i\}$，$n = 1,2,3$，$i = 1,2,\cdots$。这里$b(n)_i$中的$n$对$b_i$的值没有任何影响，只是标记其属于哪个子空间的算符。

那么就可以用三个观察算符在各自子空间的本征矢，构造出整个体系态空间的基：

$\{ \ket{b(1)_i;b(2)_j;b(3)_k}\ ;\ i,j,k = 1,2,\cdots\}$

于是我们对体系测量三个粒子的可观测量$B$，假设测得的三个值分别是$b_p$，$b_q$，$b_r$。但是这里又会出现交换简并：我们不能确定是哪个编号的$B(n)$测量得到本征值$b_p$，因此实际上描述这一测量结果，有6个基矢量：

$\ket{b(1) = b_{t_1};b(2) = b_{t_2};b(3) = b_{t_3} }\ ;\ \{t_1,t_2,t_3\} = \{p,q,r\}$

它们所张成的6维子空间中的任何矢量，按照第三章的假定，都可以描述同一个物理态。

可见再一次，我们遇到这样的困难：即便对体系中每个粒子进行完全的测量（“完全”指的是$B$本应构成单粒子态空间的CSCO），都无法在这样的数学记号下确定唯一的态矢量。

置换算符

已经看到要在量子力学中强行为全同粒子进行编号，会引起交换简并的问题。为了在后面解决这一问题，本节将会引入一种有效的工具：置换算符。

两粒子体系

置换算符$P_{21}$的定义

首先考虑两个自旋相同的粒子；这里没有假定它们是全同粒子，只考虑一个弱化情况：两粒子在我们所关心的可观测量方面的态空间同构：$\mathscr E = \mathscr E(1) \otimes \mathscr E(2)$；甚至为了避免粒子的全同性对置换算符定义的干扰，不妨直接假定它们并不全同，这样就可以放心地为其编号，分别为$(1)$粒子和$(2)$粒子。

既然两粒子在我们所关心的可观测量方面具有同构的态空间，那么就可以为两个单粒子态空间选取相同的基$\{\ket{u_i}\}$；它们张量积构成$\mathscr E$的基：

$\{ \ket{u(1)_i;u(2)_j} \}$

当然，在这样的记号中，矢量顺序无关紧要，即$\ket{u(1)_i;u(2)_j} = \ket{u(2)_j;u(1)_i}$。

于是我们定义置换算符$P_{21}$：其对基矢的作用是

$P_{21} \ket{u(1)_i;u(2)_j} = \ket{u(2)_i;u(1)_j} = \ket{u(1)_j;u(2)_i}$

即交换了构成该基矢的两个子空间基矢。从而它对态空间$\mathscr E$中的任意矢量的作用可以由展开式导出；不难证明，若：

$\ket{\psi} = \sum_{ij}c_{ij}\ket{u(1)_i;u(2)_j} \stackrel{P_{21} }{\longrightarrow} \ket{\psi'} = \sum_{ij}d_{ij}\ket{u(1)_i;u(2)_j}$

那么展开系数存在关系：

$d_{ij} = c_{ji}$

置换算符$P_{21}$的性质

讨论置换算符是怎样的算符。

显然有
$(P_{21})^2 = \mathbb I \Longrightarrow P_{21}^{-1} = P_{21}$
即$P_{21}$是自逆算符。
算符$P_{21}$的矩阵元满足：
$\bra{u(1)_{i'};u(2)_{j'} }P_{21}\ket{u(1)_{i};u(2)_{j} } = \braket{u(1)_{i'};u(2)_{j'} }{u(1)_j;u(2)_i } = \delta_{i'j}\delta_{ij'}$
同理，其厄米共轭$P_{21}^\dagger$的矩阵元是：
$\bra{u(1)_{i'};u(2)_{j'} }P^\dagger_{21}\ket{u(1)_{i};u(2)_{j} } = \braket{u(1)_{j'};u(2)_{i'} }{u(1)_i;u(2)_j } = \delta_{i'j}\delta_{ij'}$
因此$P_{21}^\dagger = P_{21}$，即$P_{21}$是厄米算符。
利用前两条可知，$P_{21}$是幺正算符：
$P_{21} P^\dagger_{21} = P^\dagger_{21} P_{21} = \mathbb I$

对称/反对称右矢，对称化/反对称化算符

我们考虑体系总态空间$\mathscr E$中一类特殊的态：$P_{21}$的本征态，显然在子空间的置换操作下，这一类态具有某种对称或反对称的特殊性质。

既然是厄米算符，那么$P_{21}$的本征值一定是实数；且其是幺正算符，因此$P_{21}$的本征值只能是$\pm 1$。我们定义：

算符$P_{21}$的属于本征值$+1$的本征矢，称为对称右矢，$P_{21}\ket{\psi_S} = \ket{\psi_S}$；
算符$P_{21}$的属于本征值$-1$的本征矢，称为反对称右矢，$P_{21}\ket{\psi_A} = -\ket{\psi_A}$。

或者说，它们在态空间基矢上的分量满足：

$c^S_{ij} = c^S_{ji}\ ,\qquad c^A_{ij} = -c^A_{ji}$

这里对称或反对称，是指总体系的态相对于两个子空间置换的对称性或反对称性。

只有$P_{21}$的本征态才被定义为对称或反对称的态；那么对于总态空间$\mathscr E$中的其他更一般的态，我们总是可以通过如下的两个投影算符将其拆分对称态和反对称态之和：

$S = \frac{\mathbb I + P_{21} }{2}\ ,\qquad A = \frac{\mathbb I - P_{21} }{2}$

不难证明它们的确是投影算符，$S^2 = S$，$A^2 = A$；显然有：

$P_{21}S\ket{\psi} = S\ket{\psi}\ ;\qquad P_{21}A\ket{\psi} = -A\ket{\psi}$

即对于任意态$\ket{\psi}$，$S\ket{\psi}$一定是对称态，而$A\ket{\psi}$是反对称态。

并且两个算符也都是厄米算符：$S^\dagger = S$，$A^\dagger = A$。不难证明，$S$的本征值只有$s=1$，和$s=0$，对应的本征态分别是对称态和反对称态；类似的，$A$的本征值只有$a = 0$和$a = 1$，对应的本征态分别是对称态和反对称态。

若记它们所投影出的子空间分别是$\mathscr E_S$、$\mathscr E_A$，那么上面说明$\mathscr E_S$中的态都是对称态，而$\mathscr E_A$中的态都是反对称态；事实上全体对称态和全体反对称态所构成的空间分别就是$\mathscr E_S$、$\mathscr E_A$。这两个子空间是正交的，因为分属$P_{21}$的不同本征子空间；它们还是正交补的，因为$S+A=\mathbb I$；于是$\forall \ket{\psi} \in \mathscr E$，

$\ket{\psi} = S\ket{\psi} + A\ket{\psi}$

我们把$S$和$A$分别称作对称化算符和反对称化算符。

置换算符不会改变右矢在对称化算符或反对称化算符下的投影结果，也就是说：

$S P_{21}\ket{\psi} = S\ket{\psi}\ ;\qquad A P_{21}\ket{\psi} = -A\ket{\psi}$

即作用$P_{21}$前后，态$\ket{\psi}$的投影是不变的。

置换算符$P_{21}$对观察算符的变换

考虑可观测量$B$，其在子空间$\mathscr E(1)$中的观察算符是$B(1)$。通过张量积，它也可以延伸到总态空间$\mathscr E$中。我们选择$B(1)$的本征矢$\{ \ket{b_i} \}$构成$\mathscr E(1)$的基矢，那么在$\mathscr E(2)$中也有同构的基矢；于是构造出$\mathscr E$中的基矢。

现在考虑算符$P_{21} B(1) P^\dagger_{21}$，这里$B(1)$是子空间$\mathscr E(1)$中的算符$B(1)$在全空间的延伸；该算符对总态空间中任一基矢的作用是：

$P_{21} B(1) P^\dagger_{21} \ket{ b(1)_i; b(2)_j } = P_{21} B(1) \ket{ b(1)_j; b(2)_i } = b_j \ket{ b(1)_i; b(2)_j }$

而这一作用正是算符$B(2)$的作用：

$B(2) \ket{ b(1)_i; b(2)_j } = b_j \ket{ b(1)_i; b(2)_j }$

于是可得：

$P_{21} B(1) P^\dagger_{21} = B(2)\ ,\qquad P_{21} B(2) P^\dagger_{21} = B(1)$

此外，在$\mathscr E$中还存在形如$C(1)+D(2)$或者$C(1)D(2)$这样同时涉及两个子空间的算符。显然：

$P_{21} [C(1) + D(2)] P^\dagger_{21} = C(2) + D(1)$ $P_{21} C(1)D(2) P^\dagger_{21} = P_{21} C(1) P^\dagger_{21} P_{21} D(2) P^\dagger_{21} = C(2)D(1)$

总之，将其推广为对$\mathscr E$中任意算符的作用：

$P_{21} O(1,2) P^\dagger_{21} = O(2,1)$

也就是将算符中各处子空间指标都交换。

我们还可以定义“对称的”观察算符：

$O_S(1,2) = O_S(2,1)$

这样“对称的”观察算符与置换算符是对易的：

$[O_S(1,2),P_{21}] = O_S(1,2) P_{21} - P_{21} O_S(1,2) = 0$

一般而言，从函数形式上对指标$1,2$对称的可观测量所对应的观察算符，都是“对称的”观察算符，例如全同粒子体系的哈密顿量。

多粒子体系

在由$N$个态空间同构但是非全同的粒子构成的体系态空间中，可以定义$N!$个置换算符，它们分别代表着对粒子编号的全部可能重排（包括但不限于上一节定义的两两置换）；其中一个是恒等算符$I$，表示不对编号做任何置换。

但是随着$N$的增大，其置换算符的性质也会更加复杂。这里以$N=3$为例简要说明多粒子体系置换算符的不同于两粒子体系之处。

置换算符的定义

考虑3粒子体系，总态空间基矢：

$\ket{ b(1)_i ; b(2)_j ;b(3)_k }$

一共可以定义6个置换算符：

$P_{123},\ P_{312},\ P_{231},\ P_{132},\ P_{213},\ P_{321}$

其定义为：

$P_{pqr} \ket{ b(1)_i ; b(2)_j ;b(3)_k } = \ket{ b(p)_i ; b(q)_j ;b(r)_k }$

其中$pqr$是对$123$的任一重排。

置换算符的性质

置换群

一个多粒子体系的全部置换算符的集合构成（非阿贝尔）群。容易证明：

$P_{123}$是恒等算符；
两个置换算符的乘积仍是一个置换算符，例如$P_{312}P_{132} = P_{321}$；
每个置换算符都有逆，且逆算符也是置换算符，例如$P_{312}^{-1} = P_{231}$；
置换算符之间并不对易，例如$P_{132}P_{312} = P_{213} \neq P_{321} = P_{312}P_{132}$。

这些性质对于一般的$N$粒子体系的置换算符也是成立的。

事实上，一个体系的全体置换算符构成的群，就是数学上的置换群。

对调算符；置换算符的宇称

一个体系的全部置换算符中，有一部分置换算符的作用是仅仅对调两个粒子，而不涉及其他粒子，这部分置换算符称为对调算符。例如在3粒子体系的6个置换算符中，有3个是对调算符：

$P_{132},\ P_{213},\ P_{321}$

对调算符有如下性质：

对调算符都是自逆算符；
对调算符都是厄米算符；
对调算符都是幺正算符；

这些性质很容易理解，只要注意到两粒子体系的$P_{21}$就是一个对调算符。

每个置换算符都可以分解为对调算符的乘积。例如：

$P_{312} = P_{132}P_{213} = P_{321}P_{132} = P_{213}P_{321} = P_{132}P_{213}P_{132}P_{132} = \cdots$

从置换的角度来看，其实就是说明数的任何重排都可以通过两两对调来完成，并且这种分解并不是唯一的。

但是可以证明，对于一个给定的置换算符，其分解为对调算符的个数的奇偶性是确定的，例如在上面$P_{312}$的分解中，它的所有分解都是偶数个对调算符。我们称其分解对调算符个数的奇偶性为相应置换算符的宇称，例如$P_{312}$就是一个偶宇称置换算符；在确定的$N$粒子体系中，奇宇称和偶宇称的置换算符个数同样多。

置换算符的幺正性

既然对调算符都是幺正算符，那么作为其乘积，置换算符也必然都是幺正算符。但是未必是厄米算符，因为一般来说对调算符之间也不对易。

完全对称/完全反对称右矢，对称化/反对称化算符

当$N>2$时置换算符不对易，因此不可能用它们的共同本征矢来构造总体系态空间的基；但是存在一些右矢，它们同时是所有置换算符的本征矢。

对于$N$粒子体系，我们用$P_\alpha$来表示其任意的置换算符。定义：

若$\ket{\psi_S}$是所有置换算符$P_\alpha$的属于本征值$+1$的本征矢，称为完全对称右矢：
$P_\alpha\ket{\psi_S} = +\ket{\psi_S}\ ,\qquad\forall \alpha$
若$\ket{\psi_A}$是所有置换算符$P_\alpha$的属于本征值$\varepsilon_\alpha$为相应宇称的本征矢，称为完全反对称右矢：
$P_\alpha\ket{\psi_A} = \varepsilon_\alpha\ket{\psi_A} = \begin{cases} +\ket{\psi_A} & P_{\alpha}{\rm\ is\ odd}\\ -\ket{\psi_A} & P_{\alpha}{\rm\ is\ even} \end{cases}\ ,\qquad\forall \alpha$

这里

$\varepsilon_\alpha = \begin{cases} +1 & P_{\alpha}{\rm\ is\ odd}\\ -1 & P_{\alpha}{\rm\ is\ even} \end{cases}$

类似于$P_{21}$的情形，全体完全对称态$\ket{\psi_S}$和全体完全反对称态$\ket{\psi_A}$分别也构成子空间$\mathscr E_S$、$\mathscr E_A$，分属投影算符：

$S = \frac{1}{N!}\sum_\alpha P_\alpha\ ,\qquad A = \frac{1}{N!}\sum_\alpha \varepsilon_\alpha P_\alpha$

称为（完全）对称化/（完全）反对称化算符。它们有性质：

厄米性：$S^\dagger = S$，$A^\dagger = A$。
与任一置换算符乘积满足：
$P_\alpha S = S P_\alpha = S\ ,\qquad P_\alpha A = A P_\alpha = \varepsilon_\alpha A$
幂等性：$S^2 = S$，$A^2 = A$。
正交性：$AS = SA = 0$

可见算符$S$或$A$的确是投影算符，它们作用在态空间中任一右矢上，得到的分别就是完全对称右矢或完全反对称右矢。

类似于$P_{21}$的情形，$N$粒子置换算符也不会改变右矢在对称化算符或反对称化算符下的投影结果：

$S P_\alpha\ket{\psi} = S\ket{\psi}\ ;\qquad A P_\alpha\ket{\psi} = \varepsilon_\alpha A\ket{\psi}$

但是在$N>2$时，子空间$\mathscr E_S$、$\mathscr E_A$不再互补，因为此时算符$S$和$A$也不再互补，例如：

$S+A = \frac13(P_{123} + P_{231} + P_{312}) \neq \mathbb I$

也就是说，在$N>2$的时候，尽管还可以通过$S$或$A$作用到任意态上获得完全对称或完全反对称态，但是已经不能把任意态分解为两者之和。

置换算符对观察算符的变换

类似于$P_{21}$的情况，对于$N$粒子体系的置换算符，它对总体系态空间上的任意算符的作用：

$P_\alpha O(1,2,\dots,N) P^\dagger_{\alpha} = O(\alpha)$

也就是说，其效果就是将算符内的相应指标置换重排。

特别地，对于完全对称算符$O_S(1,2,\dots,N)$，即指标怎样重排都不变的算符，它与任一置换算符都对易：

$[O_S(1,2,\dots,N),P_\alpha] = 0$

对称化假定

假定的陈述

现在可以陈述我们为了消除交换简并而对全同粒子体系必须引入的新假定：

对称化假定：当体系含有多个全同粒子时，由各个单粒子态空间$\mathscr E(i)$张量积得到的$\mathscr E = \bigotimes_{i}\mathscr E(i)$不再适合作为总体系的态空间，只有其中的一部分右矢才能用于描述体系的物理状态：（对于粒子置换的）完全对称右矢或完全反对称右矢。其中，由完全对称右矢所描述的全同粒子为玻色子；由完全反对称右矢所描述的全同粒子为费米子。

这一假定事实上限制了我们在第三章曾经提出的一个假设，即多粒子体系的态空间是各个子态空间的张量积。事实上由于粒子全同性的影响，$\mathscr E = \bigotimes_{i}\mathscr E(i)$不再适合作为体系的态空间，只有它的两个子空间可以是物理的态空间：完全对称子空间$\mathscr E_S$和完全反对称子空间$\mathscr E_A$。

若局限在量子力学体系，存在一个经验规律：全同粒子的置换对称性和其自旋之间存在一定的关系，即置换反对称的费米子都是自旋半整数；置换对称的玻色子都是自旋整数。这一关系在量子力学内不能被完全解释，只有在量子场论体系内才可以由“自旋统计理论”解释。

交换简并的消除

接下来可以看到对称化假定如何解决交换简并的问题。

在本章开头曾讨论过量子力学中的全同粒子问题，在那里的讨论可以归结为：

对于$N$全同粒子体系，若各个全同粒子的态空间张量积得到$\mathscr E_N$，且若其中的某个右矢$\ket{u}$按照第三章的假定，对应于某一个确定的多全同粒子的物理状态，那么无论$P_\alpha$是哪个置换算符，按照第三章的假定，$P_\alpha \ket{u}$和$\ket{u}$一样，也应描述同一个物理状态；于是进一步，按照第三章的假定，这些全体的$P_\alpha \ket{u}$张成的子空间$\mathscr E_u$中的全体右矢也描述同一个物理态；若这样的子空间维数大于1，就会出现交换简并。交换简并会进一步引起形式上的严重问题。

为此在第三章假定的基础上，额外对全同粒子体系引入了对称化假定，来对上述过程做进一步限制：即对于费米子，描述物理态的右矢必须属于$\mathscr E_S$，而对于玻色子，描述物理态的右矢必须属于$\mathscr E_A$。那么，如果我们能够证明，$\mathscr E_u$只包含$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的一个右矢，就能够自然消除交换简并。

为此，利用置换算符和对称化/反对称化算符的性质：

$S P_\alpha\ket{u} = S\ket{u}\ ;\qquad A P_\alpha\ket{u} = \varepsilon_\alpha A \ket{u}$

可见张成子空间$\mathscr E_u$的全体右矢$P_\alpha\ket{u}$，它们在$\mathscr E_S$上的投影都是共线的；进而子空间$\mathscr E_u$中的全体右矢在$\mathscr E_S$上的投影也都是共线的（至多差一常数因子）；该结论对在$\mathscr E_A$上的投影也成立。另一方面，根据算符$S$与$A$的定义，显然$S\ket{u}$与$A\ket{u}$仍属于子空间$\mathscr E_u$。

这样我们就能利用对称化假定，在$\mathscr E_u$中唯一确定一个可以描述物理状态的右矢：对于玻色子，就是$S\ket{u}$；对于费米子，就是$A\ket{u}$。这样的右矢，称之为物理右矢。

注：存在一种特殊情况，即$\mathscr E_u$中全体右矢在$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$上的投影都是$0$，这意味着相应的物理状态被对称化假定所禁止。

物理右矢的构成

构成法则

对于$N$全同粒子的体系，给出如下的法则来确定唯一的物理右矢：

任意地给各个全同粒子形式化编号，并按照第三章的假定来构成对应于物理状态的任一右矢$\ket{u}$；
按照全同粒子属于玻色子或费米子，将算符$S$或$A$作用于$\ket{u}$；
将所得右矢归一化，就得到唯一的归一化物理右矢。

下面利用几个例子简述这一法则的应用。

两全同粒子体系

考虑两个全同粒子构成的体系，设某一粒子处于归一化右矢$\ket{\phi}$描述的物理态，另一粒子则处于归一化右矢$\ket{\chi}$描述的物理态。

首先考虑当$\ket{\phi}$和$\ket{\chi}$不同时，应用前述法则：

对处于$\ket{\phi}$的粒子编号$(1)$，对处于$\ket{\chi}$的粒子编号$(2)$，那么得到一个右矢：
$\ket{u} = \ket{u(1) = \phi; u(2) = \chi}$
若全同粒子是玻色子，对$\ket{u}$对称化：
$\ket{u_S} = S\ket{u} = \frac12 \Big( \ket{u(1) = \phi; u(2) = \chi} + \ket{u(1) = \chi; u(2) = \phi} \Big)$
若全同粒子是费米子，对$\ket{u}$反对称化：
$\ket{u_A} = A\ket{u} = \frac12 \Big( \ket{u(1) = \phi; u(2) = \chi} - \ket{u(1) = \chi; u(2) = \phi} \Big)$
对上面得到的结果归一化。特别地，若$\ket{\phi}$和$\ket{\chi}$是正交的，那么归一化因子很容易算出，此时的归一化物理右矢是：
$\ket{\phi,\chi} = \frac{1}{\sqrt 2} \Big( \ket{u(1) = \phi; u(2) = \chi} + \varepsilon \ket{u(1) = \chi; u(2) = \phi} \Big)$
其中对于玻色子，$\varepsilon = +1$；对于费米子，$\varepsilon = -1$。

再考虑当$\ket{\phi}$和$\ket{\chi}$相同时的情况，应用前述法则时，得到的$\ket{u} = \ket{u(1) = \phi; u(2) = \phi}$本身就是对称右矢；若全同粒子是玻色子，那么$A\ket{u} = \ket{u}$本身就是体系的物理右矢，在这个态中两个粒子处于相同的单粒子态$\ket{\phi}$。

然而，若全同粒子是费米子，则会得到：

$\ket{u_A} = A\ket{u} = \frac12 \Big( \ket{u(1) = \phi; u(2) = \phi} - \ket{u(1) = \phi; u(2) = \phi} \Big) = 0$

这说明，没有任何物理右矢可以描述两个全同费米子处于相同单粒子态的体系；这种可能性被对称化假定所排除。这一结果事实上与“泡利不相容原理”是相容的，也就是说：两个全同费米子不可能处于相同的单粒子态。

这一结果初步揭示了玻色子与费米子之间巨大的性质差异。

多全同粒子体系

以上结果可以推广到任意$N$全同粒子体系；首先以$N=3$为例，设体系的三个粒子分别处于归一化右矢$\ket{\phi}$、$\ket{\chi}$、$\ket{\omega}$所描述的物理态，那么按照前述法则，首先构造：

$\ket{u} = \ket{u(1) = \phi; u(2) = \chi;u(3) = \omega}$

对于玻色子的情况，将之对称化：

$\begin{aligned} S\ket{u} =& \frac{1}{3!}\sum_\alpha P_\alpha \ket{u}\\ =& \frac16\Big( \ket{u(1) = \phi;u(2) = \chi;u(3) = \omega} + \ket{u(1) = \omega;u(2) = \phi;u(3) = \chi}\\ &+ \ket{u(1) = \chi;u(2) = \omega;u(3) = \phi} + \ket{u(1) = \phi;u(2) = \omega;u(3) = \chi}\\ &+ \ket{u(1) = \chi;u(2) = \phi;u(3) = \omega} + \ket{u(1) = \omega;u(2) = \chi;u(3) = \phi} \Big) \end{aligned}$

这里简便起见，在不引起歧义的前提下省略了一定的符号。将上式归一化就得到唯一确定的归一化物理右矢$\ket{\phi,\chi,\omega}$；在三个单粒子态均正交的情况下，只需将上式中的$1/6$替换为$1/\sqrt6$即可。

若三个单粒子态中有两个，例如$\ket{\phi}$和$\ket{\chi}$相同时，对称化并归一化结果是

$\begin{aligned} \ket{\phi,\phi,\omega} =& \frac{1}{\sqrt3} \Big( \ket{u(1) = \phi;u(2) = \phi;u(3) = \omega}\\ &+ \ket{u(1) = \omega;u(2) = \phi;u(3) = \chi} + \ket{u(1) = \chi;u(2) = \omega;u(3) = \phi} \Big) \end{aligned}$

若三个单粒子态都相同，对称化并归一化结果是：

$\ket{\phi,\phi,\phi} = \ket{u(1) = \phi; u(2) = \phi;u(3) = \phi}$

也就是$\ket{u}$本身就是对称的。

对于玻色子的情况，要将$\ket{u}$反对称化。但是由于每一项都有$\varepsilon_\alpha$的符号需要确定，因此可以将之写成斯莱特行列式的形式：

$\begin{aligned} A\ket{u} =& \frac{1}{3!}\sum_\alpha \varepsilon_\alpha P_\alpha \ket{u}\\ =& \frac{1}{3!} \begin{vmatrix} \ket{u(1) = \phi} & \ket{u(1) = \chi} & \ket{u(1) = \omega} \\ \ket{u(2) = \phi} & \ket{u(2) = \chi} & \ket{u(2) = \omega} \\ \ket{u(3) = \phi} & \ket{u(3) = \chi} & \ket{u(3) = \omega} \end{vmatrix} \end{aligned}$

对它归一化即可得到唯一确定的归一化物理右矢。这种表达式的优点在于非常方便推广到更大$N$的情况，并且它自动包含了泡利不相同原理的结论，即若任两个及以上的费米子单粒子态相同，行列式便会有两列相同，导致$A\ket{u} = 0$。

物理态空间的基；占据数

前面我们很熟悉利用单粒子态空间的基$\{u_i\}$来构造$N$粒子张量积空间$\mathscr E_N$的基$\{\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$。但是真正的物理态空间是$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$，那么它们的基如何构造呢？

考虑将算符$S$或$A$（下面以$S$为例）直接作用于$\mathscr E_N$中的基矢，得到一个新的完全对称化的矢量集合：

$\{ S\ket{u(1)_i,u(2)_j,\dots,u(N)_p}\}$

考虑$\mathscr E_S$中的任一完全对称右矢$\ket{\psi_S}$。一方面，它本身属于张量积空间$\mathscr E_N$，因此可以展开为

$\ket{\psi_S} = \sum_{i,j,\dots,p} c_{i,j,\dots,p} \ket{u(1)_i,u(2)_j,\dots,u(N)_p}$

而另一方面，它也属于$\mathscr E_S$，则有$S\ket{\psi_S} = \ket{\psi_S}$，因此将$S$作用于上式两端：

$S\ket{\psi_S} = \ket{\psi_S} = \sum_{i,j,\dots,p} c_{i,j,\dots,p} S\ket{u(1)_i,u(2)_j,\dots,u(N)_p}$

就把$\ket{\psi_S}$展开为了$\{ S\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$的线性组合。可见集合$\{ S\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$可以张成完全对称空间$\mathscr E_S$。

但是需要注意，集合$\{ S\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$中的各个右矢，尽管符号上各不相同，但实际上并不独立，甚至可能是同一个右矢；这是显然的，因为该集合中，形式上存在$\dim \mathscr E_N$个右矢，但子空间$\mathscr E_S$维数更低，必然不可能是独立矢量。

从根本原因来讲，是因为$\{\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$中的一些基矢之间是置换关系，它们投影到$\mathscr E_S$中会得到共线的完全对称矢量。因此$\mathscr E_S$的基，应该是集合$\{ S\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$的一个子集。如何从中选取合适的基矢？这等价于问，如何在集合$\{\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}\}$中找到那些互为置换关系的基矢？

这就需要引入占据数的概念，定义为：

在右矢$\ket{u(1)_i,u(2)_j,\dots,u(N)_p}$中，若某个单粒子态$\ket{u_k}$出现了$n_k$次，就说单粒子态$\ket{u_k}$在$\ket{u(1)_i,\dots,u(N)_p}$中的占据数是$n_k$。显然$\sum_k n_k = N$。

利用占据数的概念不难得出：两个形如$\ket{u(1)_i,u(2)_j,\dots,u(N)_p}$的互异右矢，若它们包含的所有单粒子态的占据数全部都相同，那么两者一定可以通过一置换算符相联系，于是它们被$S$作用后得到的$\mathscr E_S$中的矢量是相同的。

引入记号$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$，它表示特定的右矢$\ket{\varphi}$被算符$S$作用后得到的归一化完全对称右矢（若被$A$作用就是完全反对称右矢），其中$\ket{\varphi}$可以是任何满足单粒子态$\ket{u_k}$在其中的占据数为$n_k\neq 0$的右矢，它们被算符$S$作用后的结果都相同。

换句话说，在记号$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$下，我们只关心各个单粒子态的（非零）占据数，而不关心其排序；上述讨论对于算符$A$来说也是成立的。

容易证明，形如$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$这样的右矢有下述的一些性质：

正交性：右矢$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$和$\ket{n_i’,n_j’,\dots,n_p’}$之间，只有在各个单粒子态的占据数分别完全相等时，才有非零内积：
$\braket{n_i',n_j',\dots,n_p'}{n_i,n_j,\dots,n_p} = \delta_{ n_i n_i'}\delta_{ n_j n_j'}\cdots\delta_{ n_p n_p'}$
归一化因子：简单计算可得，对于玻色子，$\mathscr E_N$的任一基右矢被$S$作用后，要乘以因子：
$c_{(S)} = \sqrt{\frac{N!}{n_1!n_2!\cdots} }$
才会得到归一化的$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$；对于费米子，这个因子则是：
$c_{(A)} = \sqrt{N!}$
完全对称情况的完备性：若全同粒子是玻色子，那么$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$中各个占据数可以取任意非负整数值（当然要满足$\sum_k n_k = N$），并且各个占据数的全部可能值的组合就会给出完全对称空间$\mathscr E_S$的一组基。
完全反对称情况的完备性：若全同粒子是费米子，那么$\ket{n_i,n_j,\dots,n_p}$中各个占据数只能取值$0$或$1$（当然要满足$\sum_k n_k = N$），并且各个占据数的全部可能值的组合就会给出完全反对称空间$\mathscr E_A$的一组基。

其他基本假定在全同粒子体系的应用

最后还需要说明，第三章引入的基本假定，在结合对称化假定后，不会在全同粒子体系引起其他的问题。换句话说，我们将要说明，仅仅只利用$\mathscr E_N$的子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的右矢，足以完备地描述量子体系的演化和测量过程。这至少包含两层意思：

一是说，任何对全同粒子体系的测量行为，涉及到的物理状态都足以用子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的归一化右矢来确定地描述；

二是说，子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$对于时间演化是封闭的，其中的右矢在时间演化后不会越出相应子空间。

关于测量的假定

测量概率

按照对称化假定，视乎全同粒子本身是玻色子或费米子，那么在测量之前描述某个量子态的右矢$\ket{\psi}$一定属于$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$；而测量过程不改变全同粒子的性质，因此也不改变体系在测量之后所处的观察算符的某个本征矢$\ket{u}$属于的子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$。

若测量是一个“完全的”测量，也就是说，确定全部全同粒子的全部所涉可观测量（例如位置和自旋，这与我们选择的态空间有关）的测量结果。那么测量后的态矢$\ket{u}$就是唯一确定的；而若测量是“不完全的”（例如只测量部分粒子，或者只测量粒子的部分可观测量），那么测量结果将是子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的若干正交右矢，概率应当是它们各对应概率之和。

无论何种情况，测量到某个特定结果的概率幅$\braket{\psi}{u}$实际上总被归结为相应子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的两个矢量的内积，因此测量过程不会涉及到超出$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$的那些右矢。

$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$对观察算符的不变性

一般来说，只要通过$\boldsymbol R(i)$、$\boldsymbol P(i)$、$\boldsymbol S(i)$等对单粒子态的“基础观察算符”来明确地表示出对整个全同粒子体系所要测量的观察算符，就能够明确得到相应的测量结果。

例如考虑三个带电全同粒子构成的全同粒子体系：

质心位置：$\boldsymbol R_G = \frac13(\boldsymbol R(1) + \boldsymbol R(2) + \boldsymbol R(3) )$；
总动量：$\boldsymbol P = \boldsymbol P(1) + \boldsymbol P(2) + \boldsymbol P(3)$；
总角动量：$\boldsymbol L = \boldsymbol L(1) + \boldsymbol L(2) + \boldsymbol L(3)$；
静电势能：$W = kq^2(|\boldsymbol R(1) - \boldsymbol R(2) |^{-1} + |\boldsymbol R(1) - \boldsymbol R(3) |^{-1} + |\boldsymbol R(2) - \boldsymbol R(3) |^{-1})$；
总自旋：$\boldsymbol S = \boldsymbol S(1) + \boldsymbol S(2) + \boldsymbol S(3)$；

等等，上述这些可观测量都对粒子置换具有对称性。

由于全同粒子的定义，置换粒子不会对体系任何实际可观测效应产生影响，因此体系所有实际可测的观察算符都对粒子具有置换对称性，这类观察算符称为是“物理的”观察算符；相应地，也总可以构造一些不具有置换对称性的观察算符，但是那些观察算符对应的物理量实际上不能被测量，这被全同粒子的性质所保证。

因此，全同粒子体系的“物理的”观察算符都与置换算符对易：

$[G,P_\alpha] = 0$

从而可以知道，$G$对子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$的作用是封闭的（具有整体不变性），也就是说，“物理的”观察算符$G$作用到$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的任何右矢，其结果还在原来的子空间中：

$P_\alpha G \ket{\psi} = G P_\alpha \ket{\psi}$

因此可以放心地对子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$内的右矢施加任何“物理的”观察算符作用。

当然要注意的是，即便是“物理的”观察算符，它在$\mathscr E_N$中的一些本征值，不一定仍存在于子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$内；换句话说，对称化假定，将会禁戒观察算符$G$的部分本征值（这对应于物理上无法实现的状态，例如泡利不相容原理所禁止的那些状态），但绝不会为其增加新的本征值。

关于时间演化的假定

我们考虑全同粒子体系的时间演化，而按照第三章的假定，体系时间演化由其哈密顿量来决定。通常，哈密顿量包含粒子的动能项、全同粒子所受到的外部作用项、体系内全同粒子之间的相互作用项。

首先，按照定义，全同粒子的动能项完全相同；其所受到外部作用的作用规律也相同，因此这两部分的哈密顿量对于粒子置换是对称的。而全同粒子之间的相互作用项也是对称的，由于全同粒子之间并不存在哪一个更特殊。可见全同粒子体系的哈密顿量是对称观察算符，它与任何置换算符对易：

$[H,P_\alpha] = 0$

于是若取体系在$t$时刻的状态由$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的某个右矢$\ket{\psi(t)}$描述，按照第三章的假定，其所服从的时间演化为：

$\ket{\psi(t+{\rm d}t)} = \left( 1 + \frac{H}{ {\rm i}\hbar}{\rm d}t \right) \ket{\psi(t)}$

要判断$\ket{\psi(t+{\rm d}t)}$是否仍属同一个子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$，只需将算符$P_\alpha$作用于上式：

$P_\alpha \ket{\psi(t+{\rm d}t)} = P_\alpha \left( 1 + \frac{H}{ {\rm i}\hbar}{\rm d}t \right) \ket{\psi(t)} = \left( 1 + \frac{H}{ {\rm i}\hbar}{\rm d}t \right) P_\alpha \ket{\psi(t)}$

可见若$\ket{\psi(t)}$是算符$P_\alpha$的本征矢，那么$\ket{\psi(t+{\rm d}t)}$也是其属于同一本征值的本征矢，因此不会改变其完全对称或完全反对称的性质。可见时间演化不会让子空间$\mathscr E_S$或$\mathscr E_A$中的右矢越出相应子空间。第三章的时间演化假定也与对称化假定相容。