Cohen 量子力学 Chap.14:全同粒子体系
在第三章和第九章中已经陈述过对量子力学的正则量子化和自旋相关的一些基本假定;然而在处理全同粒子体系时,将会看到这些假定是不完备的;因此必须引入对全同粒子的新假定。
问题的梗概
全同粒子的定义
我们把一切固有性质都完全相同的两个粒子是 “全同粒子”,包括它们的质量、电荷、自旋等等;在任何实验上都无法在两个全同粒子之间找到差别。在经典力学和量子力学中都可以定义全同粒子的概念。
基于全同粒子的定义,立即可以得到一个重要结论:在一个体系中若存在多个全同粒子,那么将它们交换后,体系的性质和演化规律都将没有任何变化。
经典力学中的全同粒子
经典力学中虽然有全同粒子的概念,但包含全同粒子的体系不会有什么区别于只有不同粒子的特别效果。其本质原因是在经典力学中,粒子的运动轨迹是确定的,因此我们总是可以在任意时刻为全同粒子进行编号,并在后续的时间中 “追踪” 不同编号的粒子,这一点是明确的。于是体系总的状态,无非是这些各个粒子状态的集合。
例如一个包含两个全同粒子的经典体系,我们在
为描述上的方便,我们不妨对两个全同粒子分别编号
若采取这种编号,那么我们记两者在任意时刻
“
“
那么描述整个体系的基本变量集合就是
当然,由于是全同粒子,这样编号总是存在任意性的;我们不妨采取这样的方式,使其初态满足:
在这样的初态下求解运动方程得到解为:
注意到我们一开始为两个全同粒子分别编号
由于两个粒子是全同粒子,说明交换它们不会对体系造成任何变化;这就是说,在体系的拉格朗日量或者哈密顿量中,不仅两者的自由粒子部分是完全相同的,并且若是存在相互作用,那么相互作用函数对两者也是完全对称的。因此:
或者:
求解运动方程的结果也将是直接交换:
这一结果表明,从效果上来看,对全同粒子进行编号,在经典力学水平上不会对结果造成任何影响;无论如何编号,最终两个粒子的运动轨迹分别是
量子力学中的全同粒子
量子力学与经典力学的情况完全不同,究其原因在于单个粒子不存在让我们可以追踪的所谓 “轨迹”,尤其是在多全同粒子的情况下,系统演化时各自的波函数会相互交叠,导致即使我们在某时刻观测并对粒子进行编号,之后的时刻观测后也无法分辨其编号。
这会导致与经典力学完全不同的结果:经典力学中,为了计算获知系统的末态,我们只需要在初态时任选一种允许的编号方案并按照运动方程计算即可,编号方式不会影响物理结果;但是量子力学中,我们不知道某种末态究竟对应于哪种演化过程,也就不知道末态对应于哪种编号约定;甚至可能是不同过程的叠加结果。
因此,如果要像经典力学那样,强行为全同粒子进行编号,并且不加其他假定的情况下按照前面构建起的量子力学体系进行计算,就会造成问题。
为将具体困难看得更清楚以寻找解决方案,我们将会简述几个具体的例子。
交换简并
两个自旋 体系的交换简并
首先考虑两个自旋
两者张成态空间的一个二维子空间,其中的矢量为:
但是注意到,由于我们处理的是全同粒子,因此事实上
交换简并会立即带来困难:考虑在这一状态下,测量两个自旋的
两个自旋
若我们采用
即便我们约定归一化条件
一般体系的交换简并
考虑
对于任意可观测量
那么就可以用三个观察算符在各自子空间的本征矢,构造出整个体系态空间的基:
于是我们对体系测量三个粒子的可观测量
它们所张成的 6 维子空间中的任何矢量,按照第三章的假定,都可以描述同一个物理态。
可见再一次,我们遇到这样的困难:即便对体系中每个粒子进行完全的测量(“完全” 指的是
置换算符
已经看到要在量子力学中强行为全同粒子进行编号,会引起交换简并的问题。为了在后面解决这一问题,本节将会引入一种有效的工具:置换算符。
两粒子体系
置换算符 的定义
首先考虑两个自旋相同的粒子;这里没有假定它们是全同粒子,只考虑一个弱化情况:两粒子在我们所关心的可观测量方面的态空间同构:
既然两粒子在我们所关心的可观测量方面具有同构的态空间,那么就可以为两个单粒子态空间选取相同的基
当然,在这样的记号中,矢量顺序无关紧要,即
于是我们定义置换算符
即交换了构成该基矢的两个子空间基矢。从而它对态空间
那么展开系数存在关系:
置换算符 的性质
讨论置换算符是怎样的算符。
显然有
即
是自逆算符。算符
的矩阵元满足:同理,其厄米共轭
的矩阵元是:因此
,即 是厄米算符。利用前两条可知,
是幺正算符:
对称 / 反对称右矢,对称化 / 反对称化算符
我们考虑体系总态空间
既然是厄米算符,那么
- 算符
的属于本征值 的本征矢,称为对称右矢, ; - 算符
的属于本征值 的本征矢,称为反对称右矢, 。
或者说,它们在态空间基矢上的分量满足:
这里对称或反对称,是指总体系的态相对于两个子空间置换的对称性或反对称性。
只有
不难证明它们的确是投影算符,
即对于任意态
并且两个算符也都是厄米算符:
若记它们所投影出的子空间分别是
我们把
置换算符不会改变右矢在对称化算符或反对称化算符下的投影结果,也就是说:
即作用
置换算符 对观察算符的变换
考虑可观测量
现在考虑算符
而这一作用正是算符
于是可得:
此外,在
总之,将其推广为对
也就是将算符中各处子空间指标都交换。
我们还可以定义 “对称的” 观察算符:
这样 “对称的” 观察算符与置换算符是对易的:
一般而言,从函数形式上对指标
多粒子体系
在由
但是随着
置换算符的定义
考虑 3 粒子体系,总态空间基矢:
一共可以定义 6 个置换算符:
其定义为:
其中
置换算符的性质
置换群
一个多粒子体系的全部置换算符的集合构成(非阿贝尔)群。容易证明:
是恒等算符;- 两个置换算符的乘积仍是一个置换算符,例如
; - 每个置换算符都有逆,且逆算符也是置换算符,例如
; - 置换算符之间并不对易,例如
。
这些性质对于一般的
事实上,一个体系的全体置换算符构成的群,就是数学上的置换群。
对调算符;置换算符的宇称
一个体系的全部置换算符中,有一部分置换算符的作用是仅仅对调两个粒子,而不涉及其他粒子,这部分置换算符称为对调算符。例如在 3 粒子体系的 6 个置换算符中,有 3 个是对调算符:
对调算符有如下性质:
- 对调算符都是自逆算符;
- 对调算符都是厄米算符;
- 对调算符都是幺正算符;
这些性质很容易理解,只要注意到两粒子体系的
每个置换算符都可以分解为对调算符的乘积。例如:
从置换的角度来看,其实就是说明数的任何重排都可以通过两两对调来完成,并且这种分解并不是唯一的。
但是可以证明,对于一个给定的置换算符,其分解为对调算符的个数的奇偶性是确定的,例如在上面
置换算符的幺正性
既然对调算符都是幺正算符,那么作为其乘积,置换算符也必然都是幺正算符。但是未必是厄米算符,因为一般来说对调算符之间也不对易。
完全对称 / 完全反对称右矢,对称化 / 反对称化算符
当
对于
若
是所有置换算符 的属于本征值 的本征矢,称为完全对称右矢:若
是所有置换算符 的属于本征值 为相应宇称的本征矢,称为完全反对称右矢:
这里
类似于
称为(完全)对称化 /(完全)反对称化算符。它们有性质:
厄米性:
, 。与任一置换算符乘积满足:
幂等性:
, 。正交性:
可见算符
类似于
但是在
也就是说,在
置换算符对观察算符的变换
类似于
也就是说,其效果就是将算符内的相应指标置换重排。
特别地,对于完全对称算符
对称化假定
假定的陈述
现在可以陈述我们为了消除交换简并而对全同粒子体系必须引入的新假定:
对称化假定:当体系含有多个全同粒子时,由各个单粒子态空间
张量积得到的 不再适合作为总体系的态空间,只有其中的一部分右矢才能用于描述体系的物理状态:(对于粒子置换的)完全对称右矢或完全反对称右矢。其中,由完全对称右矢所描述的全同粒子为玻色子;由完全反对称右矢所描述的全同粒子为费米子。
这一假定事实上限制了我们在第三章曾经提出的一个假设,即多粒子体系的态空间是各个子态空间的张量积。事实上由于粒子全同性的影响,
若局限在量子力学体系,存在一个经验规律:全同粒子的置换对称性和其自旋之间存在一定的关系,即置换反对称的费米子都是自旋半整数;置换对称的玻色子都是自旋整数。这一关系在量子力学内不能被完全解释,只有在量子场论体系内才可以由 “自旋统计理论” 解释。
交换简并的消除
接下来可以看到对称化假定如何解决交换简并的问题。
在本章开头曾讨论过量子力学中的全同粒子问题,在那里的讨论可以归结为:
对于
为此在第三章假定的基础上,额外对全同粒子体系引入了对称化假定,来对上述过程做进一步限制:即对于费米子,描述物理态的右矢必须属于
为此,利用置换算符和对称化 / 反对称化算符的性质:
可见张成子空间
这样我们就能利用对称化假定,在
注:存在一种特殊情况,即
中全体右矢在 或 上的投影都是 ,这意味着相应的物理状态被对称化假定所禁止。
物理右矢的构成
构成法则
对于
- 任意地给各个全同粒子形式化编号,并按照第三章的假定来构成对应于物理状态的任一右矢
; - 按照全同粒子属于玻色子或费米子,将算符
或 作用于 ; - 将所得右矢归一化,就得到唯一的归一化物理右矢。
下面利用几个例子简述这一法则的应用。
两全同粒子体系
考虑两个全同粒子构成的体系,设某一粒子处于归一化右矢
首先考虑当
对处于
的粒子编号 ,对处于 的粒子编号 ,那么得到一个右矢:若全同粒子是玻色子,对
对称化:若全同粒子是费米子,对
反对称化:对上面得到的结果归一化。特别地,若
和 是正交的,那么归一化因子很容易算出,此时的归一化物理右矢是:其中对于玻色子,
;对于费米子, 。
再考虑当
然而,若全同粒子是费米子,则会得到:
这说明,没有任何物理右矢可以描述两个全同费米子处于相同单粒子态的体系;这种可能性被对称化假定所排除。这一结果事实上与 “泡利不相容原理” 是相容的,也就是说:两个全同费米子不可能处于相同的单粒子态。
这一结果初步揭示了玻色子与费米子之间巨大的性质差异。
多全同粒子体系
以上结果可以推广到任意
对于玻色子的情况,将之对称化:
这里简便起见,在不引起歧义的前提下省略了一定的符号。将上式归一化就得到唯一确定的归一化物理右矢
若三个单粒子态中有两个,例如
若三个单粒子态都相同,对称化并归一化结果是:
也就是
对于玻色子的情况,要将
对它归一化即可得到唯一确定的归一化物理右矢。这种表达式的优点在于非常方便推广到更大
物理态空间的基;占据数
前面我们很熟悉利用单粒子态空间的基
考虑将算符
考虑
而另一方面,它也属于
就把
但是需要注意,集合
从根本原因来讲,是因为
这就需要引入占据数的概念,定义为:
在右矢
利用占据数的概念不难得出:两个形如
引入记号
换句话说,在记号
容易证明,形如
正交性:右矢
和 之间,只有在各个单粒子态的占据数分别完全相等时,才有非零内积:归一化因子:简单计算可得,对于玻色子,
的任一基右矢被 作用后,要乘以因子:才会得到归一化的
;对于费米子,这个因子则是:完全对称情况的完备性:若全同粒子是玻色子,那么
中各个占据数可以取任意非负整数值(当然要满足 ),并且各个占据数的全部可能值的组合就会给出完全对称空间 的一组基。完全反对称情况的完备性:若全同粒子是费米子,那么
中各个占据数只能取值 或 (当然要满足 ),并且各个占据数的全部可能值的组合就会给出完全反对称空间 的一组基。
其他基本假定在全同粒子体系的应用
最后还需要说明,第三章引入的基本假定,在结合对称化假定后,不会在全同粒子体系引起其他的问题。换句话说,我们将要说明,仅仅只利用
一是说,任何对全同粒子体系的测量行为,涉及到的物理状态都足以用子空间
二是说,子空间
关于测量的假定
测量概率
按照对称化假定,视乎全同粒子本身是玻色子或费米子,那么在测量之前描述某个量子态的右矢
若测量是一个 “完全的” 测量,也就是说,确定全部全同粒子的全部所涉可观测量(例如位置和自旋,这与我们选择的态空间有关)的测量结果。那么测量后的态矢
无论何种情况,测量到某个特定结果的概率幅
或 对观察算符的不变性
一般来说,只要通过
例如考虑三个带电全同粒子构成的全同粒子体系:
- 质心位置:
; - 总动量:
; - 总角动量:
; - 静电势能:
; - 总自旋:
;
等等,上述这些可观测量都对粒子置换具有对称性。
由于全同粒子的定义,置换粒子不会对体系任何实际可观测效应产生影响,因此体系所有实际可测的观察算符都对粒子具有置换对称性,这类观察算符称为是 “物理的” 观察算符;相应地,也总可以构造一些不具有置换对称性的观察算符,但是那些观察算符对应的物理量实际上不能被测量,这被全同粒子的性质所保证。
因此,全同粒子体系的 “物理的” 观察算符都与置换算符对易:
从而可以知道,
因此可以放心地对子空间
当然要注意的是,即便是 “物理的” 观察算符,它在
关于时间演化的假定
我们考虑全同粒子体系的时间演化,而按照第三章的假定,体系时间演化由其哈密顿量来决定。通常,哈密顿量包含粒子的动能项、全同粒子所受到的外部作用项、体系内全同粒子之间的相互作用项。
首先,按照定义,全同粒子的动能项完全相同;其所受到外部作用的作用规律也相同,因此这两部分的哈密顿量对于粒子置换是对称的。而全同粒子之间的相互作用项也是对称的,由于全同粒子之间并不存在哪一个更特殊。可见全同粒子体系的哈密顿量是对称观察算符,它与任何置换算符对易:
于是若取体系在
要判断
可见若